Verifique a monotonicidade das sequências abaixo:
a_{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}
e pede para verificar se ela é crescente, decrescente ou não monotônica. Para isso, vamos usar o critério de diferença de termos consecutivos: comparar a_{n+1} com a_{n}.

Passo 2

Calculamos a diferença a_{n+1}-a_{n}.
a_{n+1}-a_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \Bigl(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\Bigr) = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n} = -\frac{2}{n(n+2)}.

Passo 3

Como n é inteiro positivo, n(n+2)>0. Logo
a_{n+1}-a_{n} = -\frac{2}{n(n+2)} < 0
para todo n\ge1. Isso significa que cada termo é menor que o anterior, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} é estritamente decrescente.

Exercícios relacionados