Verifique a monotonicidade das sequências abaixo:
a_{n}=\frac{5^{n}}{1+5^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a monotonicidade da sequência
a_{n} = \frac{5^{n}}{1+5^{2n}}.
O conteúdo aplicado será teste de razão entre termos consecutivos para determinar se a sequência é crescente ou decrescente.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle \frac{5^{n+1}}{1+5^{2(n+1)}}}{\displaystyle \frac{5^{n}}{1+5^{2n}}} =5 \,\frac{1+5^{2n}}{1+5^{2n+2}}.

Passo 3

Escrevendo x = 5^{2n}, a razão fica
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =5\,\frac{1+x}{1+25x}.

Passo 4

Para saber se a sequência é decrescente, comparamos essa razão a 1:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \;\Longleftrightarrow\; 5(1+x) < 1 + 25x \;\Longleftrightarrow\; 5 + 5x < 1 + 25x \;\Longleftrightarrow\; 4 < 20x \;\Longleftrightarrow\; x > \frac{1}{5}.
Como x=5^{2n}\ge5^2=25, sempre temos x>\tfrac15. Logo \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1 para todo n\ge1.

Passo 5

Concluímos que a_{n+1}<a_{n} para todo n\ge1, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{5^{n}}{1+5^{2n}} é estritamente decrescente.

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