Considere a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{n!} .
a) Calcule as reduzidas até a sexta ordem da série acima.
b) Mostre que a série converge para 1.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{n!}
e pede duas coisas:
1. calcular as somas parciais (reduzidas) até a sexta ordem, ou seja, \;S_k = \sum_{n=2}^{k} \frac{n-1}{n!} para k=2,3,4,5,6;
2. mostrar que a série converge para 1.
Vamos usar manipulações com fatoriais e uma soma telescópica para resolver.

Passo 2

Repare que
\frac{n-1}{n!} =\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!} =\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}.
Essa decomposição é chave, pois ao somar termos em n teremos cancelamentos telescópicos.

Passo 3

Definindo a soma parcial
S_k = \sum_{n=2}^{k}\frac{n-1}{n!} =\sum_{n=2}^{k}\Bigl(\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}\Bigr),
vemos que todos os termos intermediários cancelam, sobrando
S_k = \frac{1}{1!} - \frac{1}{k!} =1 - \frac{1}{k!}.

Passo 4

Basta agora avaliar S_k para k=2,3,4,5,6:
S_2 = 1 - \frac{1}{2!} = 1 - \tfrac12 = \tfrac12,
S_3 = 1 - \frac{1}{3!} = 1 - \tfrac16 = \tfrac56,
S_4 = 1 - \frac{1}{4!} = 1 - \tfrac1{24} = \tfrac{23}{24},
S_5 = 1 - \frac{1}{5!} = 1 - \tfrac1{120} = \tfrac{119}{120},
S_6 = 1 - \frac{1}{6!} = 1 - \tfrac1{720} = \tfrac{719}{720}.

Passo 5

Para a convergência, basta observar que
\lim_{k\to\infty}S_k =\lim_{k\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{k!}\Bigr) =1-0=1.
Portanto a série converge para 1.

Resposta

(a) S_{2}=\tfrac12, S_{3}=\tfrac56, S_{4}=\tfrac{23}{24}, S_{5}=\tfrac{119}{120}, S_{6}=\tfrac{719}{720}.
(b) A série converge para 1.

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