Considere a série
a) Calcule as reduzidas até a sexta ordem da série acima.
b) Mostre que a série converge para 1.
b) Mostre que a série converge para 1.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
1. calcular as somas parciais (reduzidas) até a sexta ordem, ou seja, para
;
2. mostrar que a série converge para 1.
Vamos usar manipulações com fatoriais e uma soma telescópica para resolver.
1. calcular as somas parciais (reduzidas) até a sexta ordem, ou seja,
2. mostrar que a série converge para 1.
Vamos usar manipulações com fatoriais e uma soma telescópica para resolver.
Passo 2
Repare que
Essa decomposição é chave, pois ao somar termos em
teremos cancelamentos telescópicos.
Passo 3
Definindo a soma parcial
vemos que todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Passo 4
Basta agora avaliar
para
:
Passo 5
Para a convergência, basta observar que
Portanto a série converge para 1.
Resposta
(a)
,
,
,
,
(b) A série converge para .
(b) A série converge para