Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}+5 n+6}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}+5n+6}.
O conteúdo principal aqui são testes de comparação para séries numéricas e o conceito de p-série, que diz que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Vamos entender o comportamento dos termos gerais para n grande. Note que
n^{2}+5n+6 = n^{2}\bigl(1 + \tfrac{5}{n} + \tfrac{6}{n^{2}}\bigr)
e, à medida que n\to\infty, os termos \tfrac{5}{n} e \tfrac{6}{n^{2}} passam a ser desprezíveis. Assim
\frac{2}{n^{2}+5n+6}\sim \frac{2}{n^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação direta. Para todo n\ge1 vale
n^{2}+5n+6 > n^{2} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2}{n^{2}+5n+6} < \frac{2}{n^{2}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma p-série com p=2>1, essa série convergente serve de parâmetro. Pelo teste da comparação, a série original também converge.

Passo 4

Concluímos que a série dada converge, pois seus termos são menores que os de uma p-série convergente.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}+5n+6}
converge.

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