Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2}}-\frac{1}{\sqrt[n+1]{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt[n]{2}} - \frac{1}{\sqrt[n+1]{2}}\Bigr).
O conteúdo aqui é reconhecimento de série telescópica, em que cada termo é da forma a_n - a_{n+1}.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1}{\sqrt[n]{2}} = 2^{-1/n}.
Então o n-ésimo termo da série é exatamente a_n - a_{n+1}, e podemos somar de n=1 até n=N.

Passo 3

Escrevendo a soma parcial S_N:
S_N = \sum_{n=1}^{N} \bigl(a_n - a_{n+1}\bigr).
Por telescópica, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
S_N = a_1 - a_{N+1}.

Passo 4

Calculamos a_1 e o limite de a_{N+1}. Temos
a_1 = 2^{-1/1} = \tfrac12,
e, como \lim_{n\to\infty}2^{-1/n} = 2^0 = 1, segue
\lim_{N\to\infty}a_{N+1} = 1.
Logo
\lim_{N\to\infty}S_N = \tfrac12 - 1 = -\tfrac12.

Passo 5

Concluímos que a série converge e seu valor é o limite da soma parcial.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt[n]{2}} - \frac{1}{\sqrt[n+1]{2}}\Bigr) = -\tfrac12.

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