converge para 1.
(Dica: Note que esta série é de encaixe (ou telescópica))
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(n+4)(n+5)}
converge para 1. O conteúdo principal é reconhecimento de série telescópica e uso de fração parcial para reescrever o termo geral de modo que muitos termos se cancelem.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que
\[\frac{5}{(n+4)(n+5)} = \frac{A}{n+4} + \frac{B}{n+5}.
Multiplicando por (n+4)(n+5), obtemos
5 = A(n+5) + B(n+4).
Comparando coeficientes de n e termos constantes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 5A + 4B = 5, \end{cases}
daí B = -A\] e \(5A - 4A = 5, logo A = 5 e B = -5. Assim,