Mostre que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(n+4)(n+5)}
converge para 1.
(Dica: Note que esta série é de encaixe (ou telescópica))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(n+4)(n+5)}
converge para 1. O conteúdo principal é reconhecimento de série telescópica e uso de fração parcial para reescrever o termo geral de modo que muitos termos se cancelem.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{5}{(n+4)(n+5)} = \frac{A}{n+4} + \frac{B}{n+5}.
Multiplicando por (n+4)(n+5), obtemos
5 = A(n+5) + B(n+4).
Comparando coeficientes de n e termos constantes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 5A + 4B = 5, \end{cases}
daí B = -A\] e \(5A - 4A = 5, logo A = 5 e B = -5. Assim,
\frac{5}{(n+4)(n+5)} = \frac{5}{n+4} - \frac{5}{n+5}.

Passo 3

Considere a soma parcial S_{N} = \sum_{n=1}^{N}\bigl(\frac{5}{n+4} - \frac{5}{n+5}\bigr).
Escrevendo os primeiros termos:
S_{N} = \Bigl(\frac{5}{5}-\frac{5}{6}\Bigr) + \Bigl(\frac{5}{6}-\frac{5}{7}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{5}{N+4}-\frac{5}{N+5}\Bigr).
Quase todos os termos se cancelam em cascata, sobrando somente
S_{N} = \frac{5}{5} - \frac{5}{\,N+5\,} = 1 - \frac{5}{N+5}.

Passo 4

Para obter o valor da série, tomamos o limite quando N \to \infty:
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \lim_{N\to\infty}\Bigl(1 - \frac{5}{N+5}\Bigr) = 1 - 0 = 1.

Resposta

A série converge para 1.

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