Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(2^{-n} \cos (n \pi)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \displaystyle a_n = 2^{-n}\,\cos(n\pi)
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n. Para isso vamos usar uma identidade trigonométrica e reconhecer uma sequência geométrica.

Passo 2

Usamos a identidade \displaystyle \cos(n\pi)=(-1)^n.
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a_n = 2^{-n}\,\cos(n\pi) = 2^{-n}\,(-1)^n = \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^n.

Passo 3

A sequência \displaystyle a_n=\bigl(-\tfrac12\bigr)^n
é geométrica com razão \displaystyle r=-\tfrac12.
Como \lvert r\rvert=\tfrac12<1, ela converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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