Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Para as séries convergentes diga se a convergencia é absoluta ou condicional.
(a) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\arctan (n)}{1+n^{2}}
(b) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{1+n^{\frac{3}{2}}}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{3}}
(e) \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}
(f) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin n}{n^{2}}
(g) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n}+1}{n e^{n}+1}
(h) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \pi}{1+\sqrt{n}}
(i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{2^{n}}
(j) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n^{3}+4 n+3}}
(k) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}
(1) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-n}{2+3 n}\right)^{n}
Passo 1
Temos doze séries e queremos, para cada uma, determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, dizer se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Vamos usar testes padrão de séries: comparação assintótica com séries p, teste da razão, teste da raiz e critério da série alternante de Leibniz.
Passo 2
Série (a) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{1+n^{2}}.
Para n\to\infty vale \arctan(n)\to\pi/2, logo
Como \sum1/n diverge, por comparação direta a série (b) diverge.
Passo 4
Série (c) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}}.
Para n grande \ln(n)/n^{2} decresce mais rápido que 1/n^{3/2}, pois para todo \varepsilon>0 temos \ln(n)<n^{\varepsilon} em n grande. Tomando \varepsilon=1/2,
também gera série convergente. Assim \sum|a_{n}|<\infty e a convergência é absoluta.
Passo 8
Série (g) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{n}+1}{n\,e^{n}+1}.
Para n grande a fração se comporta como (e^{n})/(n\,e^{n})=1/n. Logo
\frac{e^{n}+1}{n\,e^{n}+1}\sim\frac1n
e a série diverge (comparação com série harmônica).
Passo 9
Série (h) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((n+\frac12)\pi\bigr)}{1+\sqrt{n}}.
Note que \sin((n+\tfrac12)\pi)=(-1)^{n}. Assim o termo geral é
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}.
Aplicando o critério de Leibniz, os termos em módulo são decrescentes e tendem a zero, logo a série alternante converge. Em módulo \sum|a_{n}|=\sum1/(1+\sqrt{n})\sim\sum1/\sqrt{n} diverge p=1/2, portanto a convergência é condicional.
Passo 10
Série (i) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n}{2^{n}}.
Usando o teste da razão no valor absoluto: