Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Para as séries convergentes diga se a convergencia é absoluta ou condicional.
(a) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\arctan (n)}{1+n^{2}}
(b) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{1+n^{\frac{3}{2}}}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{3}}
(e) \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}
(f) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin n}{n^{2}}
(g) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n}+1}{n e^{n}+1}
(h) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \pi}{1+\sqrt{n}}
(i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{2^{n}}
(j) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n^{3}+4 n+3}}
(k) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}
(1) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-n}{2+3 n}\right)^{n}

Passo 1

Temos doze séries e queremos, para cada uma, determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, dizer se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Vamos usar testes padrão de séries: comparação assintótica com séries p, teste da razão, teste da raiz e critério da série alternante de Leibniz.

Passo 2

Série (a) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{1+n^{2}}.
Para n\to\infty vale \arctan(n)\to\pi/2, logo
\frac{\arctan(n)}{1+n^{2}}\sim\frac{\pi/2}{n^{2}}.
Como \sum1/n^{2} converge p=2>1, por comparação a série original converge. Todos os termos são positivos, logo a convergência é absoluta.

Passo 3

Série (b) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+4}{1+n^{3/2}}.
Para n grande o termo dominante é \sqrt{n}/n^{3/2}=1/n, pois
\frac{\sqrt{n}+4}{1+n^{3/2}}\sim\frac{\sqrt{n}}{n^{3/2}}=\frac1n.
Como \sum1/n diverge, por comparação direta a série (b) diverge.

Passo 4

Série (c) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}}.
Para n grande \ln(n)/n^{2} decresce mais rápido que 1/n^{3/2}, pois para todo \varepsilon>0 temos \ln(n)<n^{\varepsilon} em n grande. Tomando \varepsilon=1/2,
\frac{\ln(n)}{n^{2}}<\frac{n^{1/2}}{n^{2}}=\frac1{n^{3/2}},
e \sum1/n^{3/2} converge p=3/2>1. Logo (c) converge absolutamente.

Passo 5

Série (d) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+n^{3}}.
Escrevendo n^{2}+n^{3}=n^{2}(1+n), tem-se
\frac{1}{n^{2}+n^{3}}=\frac{1}{n^{2}(1+n)}\sim\frac1{n^{3}}.
Como \sum1/n^{3} converge p=3>1, a série (d) converge absolutamente.

Passo 6

Série (e) \sum_{n=1}^{\infty}n\,e^{-n^{2}}.
Para séries com fator exponencial decrescente muito forte, usamos o teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)e^{-(n+1)^{2}}}{n\,e^{-n^{2}}} =\frac{n+1}{n}\,e^{-2n-1}\to0<1.
Logo converge absolutamente.

Passo 7

Série (f) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\sin n}{n^{2}}.
Escrevendo \frac{2+\sin n}{n^{2}}=\frac2{n^{2}}+\frac{\sin n}{n^{2}}, temos \sum2/n^{2} converge e
\biggl|\frac{\sin n}{n^{2}}\biggr|\le\frac1{n^{2}}
também gera série convergente. Assim \sum|a_{n}|<\infty e a convergência é absoluta.

Passo 8

Série (g) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{n}+1}{n\,e^{n}+1}.
Para n grande a fração se comporta como (e^{n})/(n\,e^{n})=1/n. Logo
\frac{e^{n}+1}{n\,e^{n}+1}\sim\frac1n
e a série diverge (comparação com série harmônica).

Passo 9

Série (h) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((n+\frac12)\pi\bigr)}{1+\sqrt{n}}.
Note que \sin((n+\tfrac12)\pi)=(-1)^{n}. Assim o termo geral é
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}.
Aplicando o critério de Leibniz, os termos em módulo são decrescentes e tendem a zero, logo a série alternante converge. Em módulo \sum|a_{n}|=\sum1/(1+\sqrt{n})\sim\sum1/\sqrt{n} diverge p=1/2, portanto a convergência é condicional.

Passo 10

Série (i) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n}{2^{n}}.
Usando o teste da razão no valor absoluto:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} =\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^{n}} =\frac{n+1}{2n}\to\frac12<1.
Logo converge absolutamente.

Passo 11

Série (j) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n^{3}+4n+3}}.
Para n grande o denominador é \sqrt{n^{3}}=n^{3/2} e o numerador n^{1/3}, logo
\frac{n^{1/3}}{n^{3/2}}=n^{-7/6},
com 7/6>1. Portanto converge absolutamente.

Passo 12

Série (k) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}.
Teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^{n}} =\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}\to e^{-1}<1.
Logo converge absolutamente.

Passo 13

Série (l) \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1-n}{2+3n}\Bigr)^{n}.
Pelo teste da raiz:
\lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{1-n}{2+3n}\bigr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{3n+2}^{\,1/n} =\frac13<1.
Logo converge absolutamente.

Resposta

(a) Converge absolutamente.
(b) Diverge.
(c) Converge absolutamente.
(d) Converge absolutamente.
(e) Converge absolutamente.
(f) Converge absolutamente.
(g) Diverge.
(h) Converge condicionalmente.
(i) Converge absolutamente.
(j) Converge absolutamente.
(k) Converge absolutamente.
(l) Converge absolutamente.

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