Considere a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{A-2}\right)^{n}, em que A é uma constante positiva não especificada.
(a) Encontre os valores da constante positiva A para os quais a série converge.
(b) Para os valores de A encontrados na parte (a), calcule a soma da série.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{A-2}\right)^{n},
onde A é uma constante positiva (ou seja, A>0). O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar para quais valores de A a série converge;
(b) para esses valores de A, calcular a soma da série.
Informações relevantes dadas:
  • A série começa em n=0.
  • O termo geral é \left(\dfrac{5}{A-2}\right)^{n}.
  • A é uma constante positiva ( A>0).
  • Note que se A=2 o termo \dfrac{5}{A-2} fica indefinido (divisão por zero), então A=2 deve ser excluído.

Passo 2

Identificar o tipo de série e o critério de convergência.
Esta é uma série geométrica padrão: uma série da forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é a razão (constante). No nosso caso, a razão é
r=\frac{5}{A-2}.
Lembrete didático sobre séries geométricas:
  • Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1.
  • Quando converge, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r},
porque a soma parcial até N é \dfrac{1-r^{N+1}}{1-r} e, se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty.
Vou aplicar esse critério ao nosso r=\dfrac{5}{A-2}.

Passo 3

Impor a condição de convergência |r|<1 ao nosso caso e manipular a desigualdade.
Começo com
\left|\frac{5}{A-2}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por |A-2| (positivo, portanto não inverte a desigualdade), obtemos
5<|A-2|.
Isto é equivalente a
|A-2|>5.

Passo 4

Resolver a desigualdade |A-2|>5.
A desigualdade |x|>5 é equivalente a x>5 ou x<-5. Aplicando com x=A-2:
  • Caso 1: A-2>5, que dá A>7.
  • Caso 2: A-2<-5, que dá A<-3.
Mas o problema impõe A>0. Portanto a solução A<-3 é incompatível com A>0 e deve ser rejeitada. Além disso, lembramos que A=2 não é permitido pois torna r indefinido.
Conclusão desta etapa: a condição necessária e suficiente para convergência, respeitando A>0, é
A>7.
(Observação: em A=7 temos r=1 e a série diverge; em 2<A<7 tem |r|\ge1 e diverge.)

Passo 5

Calcular a soma quando a série converge ( A>7).
Como a série é geométrica com razão r=\dfrac{5}{A-2} e converge quando A>7 (ou seja, |r|<1), a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{A-2}\right)^{n}=\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\dfrac{5}{A-2}}.
Agora faço a álgebra para simplificar essa expressão:
\frac{1}{1-\dfrac{5}{A-2}}=\frac{1}{\dfrac{A-2}{A-2}-\dfrac{5}{A-2}}=\frac{1}{\dfrac{A-2-5}{A-2}}=\frac{1}{\dfrac{A-7}{A-2}}=\frac{A-2}{A-7}.
Essa manipulação é válida desde que A\neq2 (para evitar divisão por zero) e A\neq7 (para evitar divisão por zero no denominador final). Como estamos no caso de convergência A>7, ambos os problemas estão evitados.
Para checar rapidamente com um exemplo numérico: se A=8 então r=\dfrac{5}{6} e a soma é \dfrac{1}{1-5/6}=6. Pela fórmula \dfrac{A-2}{A-7} obtemos \dfrac{8-2}{8-7}=6, batendo certinho.

Resposta

(a) A>7
(b) \dfrac{A-2}{A-7} (válida para A>7)

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