Seja f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2 \cdot 5^{n+1}}. Encontre os valores de x para os quais a série converge e encontre a soma da série quando ela converge.
Isto já mostra que é uma série geométrica (multiplicando uma constante pela soma de potências de \dfrac{x}{5}).
Passo 3
Relembrando a fórmula e o critério da série geométrica (aulas rápidas):
Uma série geométrica geral tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Quando converge, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve derivação (útil na prova): para a soma parcial S_{N}=a+a r+\cdots+a r^{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1 então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S_{N}\to \dfrac{a}{1-r}.
Aqui, na nossa escrita, temos a=\dfrac{1}{10} e r=\dfrac{x}{5}. Pelo critério acima, a condição de convergência é \left|\dfrac{x}{5}\right|<1.
Passo 4
A condição \left|\dfrac{x}{5}\right|<1 é equivalente a |x|<5. Portanto a série converge pelo menos para todos os x tais que
|x|<5,
ou seja no intervalo aberto x\in(-5,5).
Passo 5
Devemos verificar os pontos extremos x=5 e x=-5 para ver se a convergência se estende a eles.
Para x=5: \dfrac{x}{5}=1. O termo geral fica \dfrac{1}{10}\cdot 1^{n}=\dfrac{1}{10}, que não tende a zero quando n\to\infty. Como condição necessária para a convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero, a série diverge em x=5.
Para x=-5: \dfrac{x}{5}=-1. O termo geral fica \dfrac{1}{10}(-1)^{n}, que oscila entre \pm\dfrac{1}{10} e também não tende a zero. Logo a série diverge em x=-5.
Concluímos que a série converge exatamente para |x|<5, sem incluir os extremos.
Passo 6
Agora obtemos a soma explícita usando a fórmula da série geométrica com a=\dfrac{1}{10} e r=\dfrac{x}{5}:
Essa simplificação é válida sempre que o denominador 5-x\neq0; como a região de convergência é |x|<5, o caso x=5 já está excluído, então não há problema.
Passo 7
Resumo interpretativo e incentivo: a série é uma geométrica com razão \dfrac{x}{5}. Para a prova, decore o truque de fatorar constantes para reconhecer uma geométrica e use sempre a condição |r|<1. Você fez bem em pedir resolução passo a passo — esse fatoramento e a verificação dos extremos são exatamente o que costumam cair na prova. Vai dar certo, respira fundo e revise esse padrão umas duas vezes!
Resposta
|x|<5 (ou seja x\in(-5,5)) \displaystyle f(x)=\frac{1}{2(5-x)} para |x|<5