Seja f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2 \cdot 5^{n+1}}. Encontre os valores de x para os quais a série converge e encontre a soma da série quando ela converge.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2\cdot 5^{n+1}}
e pede duas coisas:
  • Para quais valores de x essa série converge.
  • Qual é a soma da série quando ela converge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral da série é \dfrac{x^{n}}{2\cdot 5^{n+1}}.
  • A soma é pedida como função de x nos pontos de convergência.

Passo 2

Vamos manipular o termo geral para reconhecer um padrão simples (geometria). Note que
\frac{x^{n}}{2\cdot 5^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{x^{n}}{5^{n}}=\frac{1}{10}\left(\frac{x}{5}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
f(x)=\frac{1}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{5}\right)^{n}.
Isto já mostra que é uma série geométrica (multiplicando uma constante pela soma de potências de \dfrac{x}{5}).

Passo 3

Relembrando a fórmula e o critério da série geométrica (aulas rápidas):
  • Uma série geométrica geral tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Quando converge, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve derivação (útil na prova): para a soma parcial S_{N}=a+a r+\cdots+a r^{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1 então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S_{N}\to \dfrac{a}{1-r}.
Aqui, na nossa escrita, temos a=\dfrac{1}{10} e r=\dfrac{x}{5}. Pelo critério acima, a condição de convergência é \left|\dfrac{x}{5}\right|<1.

Passo 4

A condição \left|\dfrac{x}{5}\right|<1 é equivalente a |x|<5. Portanto a série converge pelo menos para todos os x tais que
|x|<5,
ou seja no intervalo aberto x\in(-5,5).

Passo 5

Devemos verificar os pontos extremos x=5 e x=-5 para ver se a convergência se estende a eles.
  • Para x=5: \dfrac{x}{5}=1. O termo geral fica \dfrac{1}{10}\cdot 1^{n}=\dfrac{1}{10}, que não tende a zero quando n\to\infty. Como condição necessária para a convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero, a série diverge em x=5.
  • Para x=-5: \dfrac{x}{5}=-1. O termo geral fica \dfrac{1}{10}(-1)^{n}, que oscila entre \pm\dfrac{1}{10} e também não tende a zero. Logo a série diverge em x=-5.
Concluímos que a série converge exatamente para |x|<5, sem incluir os extremos.

Passo 6

Agora obtemos a soma explícita usando a fórmula da série geométrica com a=\dfrac{1}{10} e r=\dfrac{x}{5}:
f(x)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{5}}.
Simplificando essa expressão:
f(x)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{\dfrac{5-x}{5}}=\frac{1}{10}\cdot\frac{5}{5-x}=\frac{1}{2(5-x)}.
Essa simplificação é válida sempre que o denominador 5-x\neq0; como a região de convergência é |x|<5, o caso x=5 já está excluído, então não há problema.

Passo 7

Resumo interpretativo e incentivo: a série é uma geométrica com razão \dfrac{x}{5}. Para a prova, decore o truque de fatorar constantes para reconhecer uma geométrica e use sempre a condição |r|<1. Você fez bem em pedir resolução passo a passo — esse fatoramento e a verificação dos extremos são exatamente o que costumam cair na prova. Vai dar certo, respira fundo e revise esse padrão umas duas vezes!

Resposta

|x|<5 (ou seja x\in(-5,5))
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2(5-x)} para |x|<5

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