Suponha que \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} seja uma sequência tal que, para todo n \geq 1, temos
\frac{4 n}{2 n+1} \leq a_{n} \leq 1+5^{1 / n}
(a) Determine se a sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} converge ou diverge. Se convergir, encontre \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.
(b) Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge ou diverge. Justifique sua resposta e cite qualquer teste utilizado.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \{a_n\}_{n=1}^\infty com, para todo n\ge 1,
\frac{4n}{2n+1} \le a_n \le 1 + 5^{1/n}.
As perguntas são:
(a) A sequência \{a_n\} converge ou diverge? Se converge, qual é \lim_{n\to\infty} a_n?
(b) A série \sum_{n=1}^\infty a_n converge ou diverge? Justificar e citar o teste usado.
Vou primeiro estudar os limites das duas sequências que aparecem nas desigualdades (o lado esquerdo e o lado direito) e depois usar isso para concluir sobre \{a_n\}. Em seguida trato da série.

Passo 2

Calcular o limite do termo inferior \dfrac{4n}{2n+1}. Para simplificar, divido numerador e denominador por n:
\frac{4n}{2n+1}=\frac{4}{2+1/n}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2+1/n}=\frac{4}{2+0}=\frac{4}{2}=2.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{2n+1}=2.

Passo 3

Calcular o limite do termo superior 1+5^{1/n}. Primeiro foco em 5^{1/n}. Use a relação 5^{1/n}=e^{(\ln 5)/n}. Como \ln 5 é constante e \dfrac{\ln 5}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela continuidade da exponencial segue que
\lim_{n\to\infty}5^{1/n}=\lim_{n\to\infty}e^{(\ln 5)/n}=e^0=1.
Logo
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+5^{1/n}\bigr)=1+1=2.

Passo 4

Agora temos duas sequências que “encimam” e “limitam por baixo” a_n:
\frac{4n}{2n+1}\le a_n \le 1+5^{1/n},
e decidimos que
\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{2n+1}=2, \qquad \lim_{n\to\infty}\bigl(1+5^{1/n}\bigr)=2.
Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze Theorem): se x_n\le y_n\le z_n e \lim x_n=\lim z_n=L, então \lim y_n=L. Aqui x_n=\dfrac{4n}{2n+1}, y_n=a_n, z_n=1+5^{1/n} e L=2. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = 2.
Isto responde (a): a sequência converge e seu limite é 2.

Passo 5

Breve explicação didática do Teorema do Confronto (para a prova): o Teorema diz que se uma sequência y_n está sempre entre duas outras x_n e z_n que convergem para o mesmo limite L, então y_n também converge para L. Intuitivamente, as duas sequências que “apertam” y_n forçam y_n a ficar cada vez mais próximo de L. É um teste muito prático quando só se conhece desigualdades.

Passo 6

Agora (b): decidir sobre a série \sum_{n=1}^\infty a_n. Um fato fundamental (teste necessário) para séries é: se a série \sum_{n=1}^\infty b_n converge, então os termos b_n necessariamente tendem a zero, isto é, \lim_{n\to\infty} b_n = 0. Esse é o teste do termo geral para divergência (ou teste necessário da convergência). Se \lim b_n \ne 0 ou não existe, então a série diverge.

Passo 7

Aplicando o teste do termo geral a \sum a_n: já mostramos que \lim_{n\to\infty} a_n = 2. Como 2\neq 0, a condição necessária para convergência de uma série não é satisfeita. Portanto a série \sum_{n=1}^\infty a_n diverge.

Passo 8

Observação prática para prova: muitas vezes é suficiente mostrar que os termos não tendem a zero para concluir divergência da série. Não é preciso comparar com a série harmônica ou outros testes quando o termo geral tem limite não zero. No caso aqui, como o limite é 2, os termos nem chegam perto de zero, então somá-los gera uma soma que cresce sem limite (diverge).

Resposta

(a) A sequência \{a_n\} converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 2.\n
(b) A série \sum_{n=1}^\infty a_n diverge (pelo teste do termo geral, pois \lim_{n\to\infty} a_n = 2 \neq 0).

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