Suponha que
seja uma sequência tal que, para todo
, temos
(a) Determine se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, encontre
.
(b) Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta e cite qualquer teste utilizado.
(b) Determine se a série
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
com, para todo
,
As perguntas são:
(a) A sequência converge ou diverge? Se converge, qual é
?
(b) A série converge ou diverge? Justificar e citar o teste usado.
(a) A sequência
(b) A série
Vou primeiro estudar os limites das duas sequências que aparecem nas desigualdades (o lado esquerdo e o lado direito) e depois usar isso para concluir sobre
. Em seguida trato da série.
Passo 2
Calcular o limite do termo inferior
. Para simplificar, divido numerador e denominador por
:
Como
quando
, temos
Portanto
Passo 3
Calcular o limite do termo superior
. Primeiro foco em
. Use a relação
. Como
é constante e
quando
, pela continuidade da exponencial segue que
Logo
Passo 4
Agora temos duas sequências que “encimam” e “limitam por baixo”
:
e decidimos que
Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze Theorem): se
e
, então
. Aqui
,
,
e
. Portanto
Isto responde (a): a sequência converge e seu limite é
.
Passo 5
Breve explicação didática do Teorema do Confronto (para a prova): o Teorema diz que se uma sequência
está sempre entre duas outras
e
que convergem para o mesmo limite
, então
também converge para
. Intuitivamente, as duas sequências que “apertam”
forçam
a ficar cada vez mais próximo de
. É um teste muito prático quando só se conhece desigualdades.
Passo 6
Agora (b): decidir sobre a série
. Um fato fundamental (teste necessário) para séries é: se a série
converge, então os termos
necessariamente tendem a zero, isto é,
. Esse é o teste do termo geral para divergência (ou teste necessário da convergência). Se
ou não existe, então a série diverge.
Passo 7
Aplicando o teste do termo geral a
: já mostramos que
. Como
, a condição necessária para convergência de uma série não é satisfeita. Portanto a série
diverge.
Passo 8
Observação prática para prova: muitas vezes é suficiente mostrar que os termos não tendem a zero para concluir divergência da série. Não é preciso comparar com a série harmônica ou outros testes quando o termo geral tem limite não zero. No caso aqui, como o limite é
, os termos nem chegam perto de zero, então somá-los gera uma soma que cresce sem limite (diverge).
Resposta
(a) A sequência
converge e
.\n
(b) A série diverge (pelo teste do termo geral, pois
).
(b) A série