Considere a série
em que
e
para todo
a) Determine o raio de convergência da série.
b) Para qual função essa série converge?
a) Determine o raio de convergência da série.
b) Para qual função essa série converge?
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
com
,
e recorrência
.
Precisamos achar (a) o raio de convergência e (b) a função geratriz dessa série.
Precisamos achar (a) o raio de convergência e (b) a função geratriz dessa série.
Passo 2
A condição
para todo
mostra que
é periódica de período 2. Logo, para
:
Passo 3
Quebramos a soma em termos pares e ímpares:
Passo 4
Cada série é geométrica de razão
. Sabemos que
Portanto o raio de convergência é
. Além disso,
Passo 5
Somando as duas parcelas obtemos a função geratriz:
Resposta
(a) O raio de convergência é
.
(b) A série converge para
(b) A série converge para