Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+4 x=0, sujeita a x(0)=0 e x^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem, linear e homogêneo com coeficientes constantes:
x'' + 4x' + 4x = 0,
com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=1. Para resolver, usamos o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado:
r^2 + 4r + 4 = 0.
Ele fatoriza como (r + 2)^2 = 0, ou seja, há raiz dupla r = -2. Portanto, a solução geral é
x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-2t}.

Passo 3

Precisamos determinar C_1 e C_2 pelas condições iniciais. Primeiro, calculamos x'(t):
x'(t) = C_2\,e^{-2t} + (C_1 + C_2 t)\bigl(-2e^{-2t}\bigr) = \bigl(C_2 - 2C_1 - 2C_2 t\bigr)e^{-2t}.
Em t=0, temos
x(0) = C_1 = 0 \quad\text{e}\quad x'(0) = (C_2 - 2C_1)e^{0} = C_2 = 1.

Passo 4

Substituindo C_1=0 e C_2=1 na solução geral, fica
x(t) = t\,e^{-2t}.

Resposta

x(t) = t\,e^{-2t}

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