Exercício 4. ( 01,10 ponto ) Mostrar que a equação diferencial dada é do tipo homogêneo; em seguida, deve-se resolver a equação diferencial.
\frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}+x^{2}}{3 x y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2 + x^2}{3xy}
e pede (a) mostrar que ela é homogênea e (b) resolvê-la. Vamos usar o método de substituição y = u x, que é típico para equações homogêneas de grau zero.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade observando que o numerador 3y^2 + x^2 e o denominador 3xy são polinômios homogêneos de grau 2. De fato, para todo t\neq0,
3(ty)^2 + (tx)^2 = t^2(3y^2 + x^2), \quad 3\,(t x)\,(t y) = t^2 (3xy),
logo a razão é função de y/x apenas, o que caracteriza uma EDO homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição
y = u x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx},
substituímos em
u + x\frac{du}{dx} = \frac{3(u x)^2 + x^2}{3x\,(u x)} = \frac{3u^2x^2 + x^2}{3u\,x^2} = \frac{3u^2 + 1}{3u}.

Passo 4

Isolamos o termo com du/dx:
x\frac{du}{dx} = \frac{3u^2 + 1}{3u} - u = \frac{3u^2 + 1 - 3u^2}{3u} = \frac{1}{3u}.
Logo
3u\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int 3u\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\,u^2 = \ln\lvert x\rvert + C.
Multiplicando por 2/3 e definindo C_1 = \tfrac{2}{3}C, temos
u^2 = \frac{2}{3}\ln\lvert x\rvert + C_1.

Passo 6

Voltando a y, como u = y/x, obtemos
\biggl(\frac{y}{x}\biggr)^2 = \frac{2}{3}\ln\lvert x\rvert + C_1 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = x^2\Bigl(\frac{2}{3}\ln\lvert x\rvert + C_1\Bigr).

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral é
\boxed{y^2 = \frac{2}{3}\,x^2\ln\lvert x\rvert + C\,x^2.}

Exercícios relacionados