Exercício 4. ( 01,10 ponto ) Mostrar que a equação diferencial dada é do tipo homogêneo; em seguida, deve-se resolver a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) mostrar que ela é homogênea e (b) resolvê-la. Vamos usar o método de substituição
, que é típico para equações homogêneas de grau zero.
Passo 2
Verificamos a homogeneidade observando que o numerador
e o denominador
são polinômios homogêneos de grau 2. De fato, para todo
,
logo a razão é função de
apenas, o que caracteriza uma EDO homogênea.
Passo 3
Fazendo a substituição
substituímos em
Passo 4
Isolamos o termo com
:
Logo
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
e definindo
, temos
Passo 6
Voltando a
, como
, obtemos
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral é