Considere a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n}. Determine se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}
e determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e depois verificar a convergência absoluta pela série dos valores absolutos.
Passo 2
Aplicamos o teste de Leibniz: para uma série alternada da forma
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}a_n
se a_n é decrescente e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série converge. Aqui temos a_n=\tfrac1n, que é decrescente e satisfaz \lim_{n\to\infty}\tfrac1n=0. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}
converge.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, consideramos
Essa é a série harmônica, conhecida por divergir (por exemplo, pelo teste da integral ou por p-série com p=1). Portanto, a série não converge absolutamente.