Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y=4 x-x^{2} no ponto (1, 3). Em seguida construa os gráficos da parábola e da reta tangente.
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos utilizandose a definição de derivada em um ponto pelos seguintes limites
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à parábola
y = 4x - x^2
no ponto (1,3) usando a definição de derivada em um ponto, e em seguida construir graficamente a parábola e essa reta tangente. Vamos usar
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
para achar a inclinação e depois obter a equação da reta tangente.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada em x_0=1. Seja f(x)=4x-x^2. Então
f(1+h)=4(1+h)-(1+h)^2=4+4h-\bigl(1+2h+h^2\bigr)=3+2h-h^2,
f(1)=4\cdot1-1^2=3.
O quociente de diferença fica
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(3+2h-h^2)-3}{h}=\frac{2h-h^2}{h}=2-h.
Tomando o limite h\to0, obtemos
f'(1)=\lim_{h\to0}(2-h)=2.

Passo 3

A inclinação da reta tangente em (1,3) é m=f'(1)=2. A equação da reta tangente, na forma ponto-inclinação, é
y-3=2\,(x-1),
ou seja
y=2x+1.

Passo 4

Para construir os gráficos no mesmo sistema de eixos:
  1. Parâbola y=4x-x^2: pontos notáveis são
\begin{aligned} x&:0,\;1,\;2,\;3,\;4,\\\ y&:0,\;3,\;4,\;3,\;0. \end{aligned}
Ligue esses pontos formando uma curva côncava para baixo, com vértice em (2,4).
2. Reta tangente y=2x+1: alguns pontos são
\begin{aligned} x&:0,\;1,\;2,\\\ y&:1,\;3,\;5. \end{aligned}
Trace uma linha reta por esses pontos; ela tocará a parábola exatamente em (1,3).

Resposta

A inclinação da reta tangente é 2 e sua equação é
y=2x+1.

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