Verifique a convergência da série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n} e, se convergente, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos a convergência da série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}
e, se convergente, calcular sua soma. Aqui o conteúdo é séries infinitas, mais especificamente o critério e a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Lembrando que uma série geométrica geral é
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo e r a razão. Essa série converge exatamente quando \lvert r\rvert<1 e, nesse caso, a soma é
S = \frac{a}{1-r}.

Passo 3

No nosso caso temos
a = \left(\frac{1}{4}\right)^{0} = 1 \quad\text{e}\quad r = \frac{1}{4}.
Como
\bigl\lvert r\bigr\rvert = \frac{1}{4} < 1,
a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma para séries geométricas convergentes:
S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{4}} = \frac{1}{\tfrac{3}{4}} = \frac{4}{3}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n} = \frac{4}{3}.

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