Utilize o teste do limite para decidir sobre a convergência da série: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+2 n}{5 n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}+2n}{5n}.
O objetivo é aplicar o teste do termo geral (teste do limite) para decidir convergência. Para isso, definimos \displaystyle a_n=\frac{3^{n}+2n}{5n}
e vamos calcular \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Escrevemos
a_n=\frac{3^{n}+2n}{5n} =\frac{3^{n}}{5n}+\frac{2n}{5n} =\frac{3^{n}}{5n}+\frac{2}{5}.
Sabemos que o termo \frac{3^{n}}{n} cresce sem limite (pois exponencial domina polinomial). Logo,
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{5n} =\infty,
e assim
\lim_{n\to\infty}a_n =\infty+\frac{2}{5} =\infty\neq 0.

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0, então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste do termo geral, pois \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0.

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