Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+6}{n^{2}+2} é convergente ou divergente. Justifique usando um teste de comparação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+6}{n^{2}+2}
é convergente ou divergente, usando algum teste de comparação. Aqui o conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste de comparação por limite (limite de quociente) com a série harmônica, já que para grandes n temos
\frac{n+6}{n^{2}+2}\sim \frac{n}{n^{2}}=\frac1n.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n+6}{n^{2}+2} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, que diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o teste de comparação por limite, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+6}{n^{2}+2}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+6)}{n^{2}+2}.
No numerador expandimos n(n+6)=n^{2}+6n, logo
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}+6n}{n^{2}+2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 + \tfrac{6}{n}}{1 + \tfrac{2}{n^{2}}} = 1.
Como 0<L<\infty e \sum b_n diverge, o teste diz que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+6}{n^{2}+2} diverge.

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