Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar se ela converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. A série é:
Vamos precisar entender sobre séries alternadas, teste de convergência absoluta e condicional, e talvez aplicar alguns testes específicos como o teste da série p ou o teste da comparação. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar raiz[3]sin (1n^2). Sabemos que para valores pequenos de x, sin(x) approx x. Como 1n^2 fica bem pequeno conforme n cresce, podemos aproximar:
sin (1n^2) approx 1n^2
Então,
raiz[3]sin (1n^2) approx raiz[3]1n^2 = 1n^2/3
Passo 4
Agora, vamos comparar a série dos valores absolutos com a série p:
sumn=1^infty 1n^2/3
Sabemos que a série p converge se p > 1. Aqui, p = 23, que é menor que 1. Portanto, a série:
sumn=1^infty 1n^2/3
diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda pode convergir condicionalmente. Para verificar isso, vamos usar o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que se os termos bn de uma série sum (-1)^n bn satisfazem:
bn é decrescente.
limn to infty bn = 0,
então a série converge.
No nosso caso, bn = raiz[3]sin (1n^2). Vimos que para grandes n, isso é aproximadamente 1n^2/3, que é decrescente e tende a 0.
Passo 7
Então, como os termos são decrescentes e tendem a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série original:
sumn=1^infty (-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^2)
converge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^2)converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.