Considere uma série sumn=0^infty an x^n. Supondo que
sumn=1^infty n an x^n-1=sumn=0^infty an x^n
para todo x in R, mostre que an=a0n!, forall n in N. Observe a série resultante, esta parece com a Série de potências de alguma função conhecida?

Passo 1

O enunciado considera a série de potências
f(x)=sumn=0^inftyanx^n
e diz que, para todo xinR, vale
sumn=1^inftyn,an,x^n-1 ;=;sumn=0^inftyan,x^n
O conteúdo envolvido é a manipulação de séries de potências e a comparação de coeficientes, que equivale a resolver a equação diferencial f'(x)=f(x) via série.

Passo 2

Reindexamos a soma da esquerda para comparar coeficientes com a da direita. Seja m=n-1; então n=m+1 e
sumn=1^inftyn,an,x^n-1 =summ=0^infty(m+1),am+1,x^m
Como isso deve ser igual a summ=0^inftyam,x^m para todo x, concluímos pelo princípio da igualdade de séries de potências que, para todo m>=0,
(m+1),am+1=am

Passo 3

Da relação de recorrência
am+1=amm+1,
vemos que
a1=a01, a2=a12=a02!, a3=a23=a03!,;dots
Por indução, segue que para todo ninN,
an=a0n!

Passo 4

Substituindo esses coeficientes na série original, obtemos
f(x)=sumn=0^inftya0n!,x^n =a0sumn=0^inftyx^nn! =a0,e^x
Logo a série resultante é exatamente a série de potências da função exponencial.

Resposta

an=a0n!,forall ninN,
e a série converge para a0e^x.

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