Considere uma série
. Supondo que
para todo
, mostre que
. Observe a série resultante, esta parece com a Série de potências de alguma função conhecida?
Passo 1
O enunciado considera a série de potências
e diz que, para todo
, vale
O conteúdo envolvido é a manipulação de séries de potências e a comparação de coeficientes, que equivale a resolver a equação diferencial
via série.
Passo 2
Reindexamos a soma da esquerda para comparar coeficientes com a da direita. Seja
; então
e
Como isso deve ser igual a
para todo
, concluímos pelo princípio da igualdade de séries de potências que, para todo
,
Passo 3
Da relação de recorrência
vemos que
Por indução, segue que para todo
,
Passo 4
Substituindo esses coeficientes na série original, obtemos
Logo a série resultante é exatamente a série de potências da função exponencial.
Resposta
e a série converge para
.