(Série de Taylor) Uma forma de obtermos a Série de potências de funções mais gerais é por meio da Série de Taylor. Dizemos que f tem uma expansão em Série de Taylor em torno do ponto x0, se a série
f(x)=sumn=0^infty Cn(x-x0)^n,
com Cn=f^(n)(x0)n! é convergente para algum intervalo em torno de x0. Encontre a expansão em Série de Taylor em torno do ponto x0 indicado, para as funções abaixo:
f(x)=e^-x^2 ; x0=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em Série de Taylor (isto é, Série de Maclaurin, pois x0=0) da função
f(x)=e^-x^2
O conteúdo envolve saber que
f(x)=sumn=0^inftyCn(x-0)^n com Cn=f^(n)(0)n!,
e usar uma série conhecida para gerar essa expansão.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer variável z,
e^z=sumn=0^inftyz^nn!
Aqui basta identificar z=-x^2, pois f(x)=e^z com esse z.

Passo 3

Substituindo z=-x^2 na série de e^z, obtemos
f(x)=e^-x^2 =sumn=0^infty(-x^2)^nn! =sumn=0^infty(-1)^n,x^2nn!

Passo 4

Repare que só aparecem potências pares de x. Logo, para m ímpar o coeficiente Cm=0, e para m=2n tem-se
C2n=(-1)^nn!

Resposta

f(x)=e^-x^2 =sumn=0^infty(-1)^n,x^2nn!,
com raio de convergência infinito.

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