Se uma série de potências define uma função,
então podemos garantir que esta função é derivável e integrável no intervalo aberto no qual a série é convergente. E mais, sua derivada e sua integral são calculadas derivando e integrando a série termo a termo. Por exemplo:
e
Desta forma, calcule a derivada e a integral das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado lembra que, se
converge num intervalo aberto, podemos derivar e integrar termo a termo. Aqui temos
e precisamos encontrar
e
.
Passo 2
Derivando termo a termo, cada termo
produz
Logo,
Passo 3
Integrando termo a termo, cada termo
gera
Portanto, a integral indefinida é