Se uma série de potências define uma função,
f(x)=sumn=0^+infty cn x^n
então podemos garantir que esta função é derivável e integrável no intervalo aberto no qual a série é convergente. E mais, sua derivada e sua integral são calculadas derivando e integrando a série termo a termo. Por exemplo:
& f(x) &=sumn=0^+infty cn x^n=c0+c1 x+c2 x^2+c3 x^3+ldots+cn x^n+ldots & Rightarrow d fd x=c1+2 c2 x+3 c3 x^2+ldots+n cn x^n-1+ldots=sumn=0^+infty n cn x^n-1
e
integral f(x) d x=c0 x+c1 x^22+c3 x^33+ldots+cn x^nn+ldots=sumn=0^+infty cn x^n+1n+1
Desta forma, calcule a derivada e a integral das séries abaixo:
sumn=0^+infty x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado lembra que, se
f(x)=sumn=0^inftycnx^n
converge num intervalo aberto, podemos derivar e integrar termo a termo. Aqui temos
f(x)=sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1)!
e precisamos encontrar f'(x) e integral f(x),dx.

Passo 2

Derivando termo a termo, cada termo x^2n+1(2n+1)! produz
ddxl(x^2n+1(2n+1)!r) =(2n+1),x^2n(2n+1)! =x^2n(2n)!
Logo,
f'(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!

Passo 3

Integrando termo a termo, cada termo x^2n+1(2n+1)! gera
integral x^2n+1(2n+1)!,dx =x^2n+2(2n+1)!,(2n+2) =x^2n+2(2n+2)!
Portanto, a integral indefinida é
integral f(x),dx =sumn=0^inftyx^2n+2(2n+2)!+C

Resposta

f'(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!, integral f(x),dx=sumn=0^inftyx^2n+2(2n+2)!+C

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