(Série de Taylor) Uma forma de obtermos a Série de potências de funções mais gerais é por meio da Série de Taylor. Dizemos que f tem uma expansão em Série de Taylor em torno do ponto x0, se a série
f(x)=sumn=0^infty Cn(x-x0)^n,
com Cn=f^(n)(x0)n! é convergente para algum intervalo em torno de x0. Encontre a expansão em Série de Taylor em torno do ponto x0 indicado, para as funções abaixo:
f(x)=sen(x) ; x0=0;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em Série de Taylor de f(x)=sen(x) em torno de x0=0. Vamos usar a definição
f(x)=sumn=0^inftyCn(x-0)^n,
com
Cn=f^(n)(0)n!

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=sin(x) e avaliamos em x=0:
f(x)&=sin(x),&f(0)&=0, f'(x)&=cos(x),&f'(0)&=1, f''(x)&=-sin(x),&f''(0)&=0, f'''(x)&=-cos(x),&f'''(0)&=-1,
e a partir daí o padrão se repete a cada quatro derivadas. Logo, só as derivadas de ordem ímpar são não nulas.

Passo 3

Para n=2k temos f^(2k)(0)=0, ou seja C2k=0.
Para n=2k+1 temos
f^(2k+1)(0)=(-1)^k,
portanto
C2k+1=(-1)^k(2k+1)!
Assim a série fica
sin(x)=sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

Resposta

boxedsin(x)=sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

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