(Série de Taylor) Uma forma de obtermos a Série de potências de funções mais gerais é por meio da Série de Taylor. Dizemos que
tem uma expansão em Série de Taylor em torno do ponto
, se a série
é convergente para algum intervalo em torno de
. Encontre a expansão em Série de Taylor em torno do ponto
indicado, para as funções abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em Série de Taylor de
em torno de
. Vamos usar a definição
com
Passo 2
Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
e a partir daí o padrão se repete a cada quatro derivadas. Logo, só as derivadas de ordem ímpar são não nulas.
Passo 3
Para
temos
, ou seja
.
Para temos
Para
portanto
Assim a série fica