Se uma série de potências define uma função,
então podemos garantir que esta função é derivável e integrável no intervalo aberto no qual a série é convergente. E mais, sua derivada e sua integral são calculadas derivando e integrando a série termo a termo. Por exemplo:
e
Desta forma, calcule a derivada e a integral das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para derivar e integrar termo a termo a série de potência
sabendo que a série converge para todo
(raio de convergência infinito) e, portanto, podemos trocar soma e operação.
Passo 2
Derivando termo a termo, cada termo
gera
e o termo
some pois é constante. Assim
Fazendo a mudança de índice
, fica
Passo 3
Integrando termo a termo, cada termo
dá
Somando tudo e agrupando a constante geral
,
Fazendo
, obtemos