Se uma série de potências define uma função,
f(x)=sumn=0^+infty cn x^n
então podemos garantir que esta função é derivável e integrável no intervalo aberto no qual a série é convergente. E mais, sua derivada e sua integral são calculadas derivando e integrando a série termo a termo. Por exemplo:
& f(x) &=sumn=0^+infty cn x^n=c0+c1 x+c2 x^2+c3 x^3+ldots+cn x^n+ldots & Rightarrow d fd x=c1+2 c2 x+3 c3 x^2+ldots+n cn x^n-1+ldots=sumn=0^+infty n cn x^n-1
e
integral f(x) d x=c0 x+c1 x^22+c3 x^33+ldots+cn x^nn+ldots=sumn=0^+infty cn x^n+1n+1
Desta forma, calcule a derivada e a integral das séries abaixo:
sumn=0^+infty x^nn!

Passo 1

O enunciado pede para derivar e integrar termo a termo a série de potência
f(x)=sumn=0^inftyx^nn!,
sabendo que a série converge para todo x (raio de convergência infinito) e, portanto, podemos trocar soma e operação.

Passo 2

Derivando termo a termo, cada termo tfracx^nn! gera
ddx!l(x^nn!r)=n,x^n-1n!=x^n-1(n-1)!(n>=1),
e o termo n=0 some pois é constante. Assim
f'(x)=sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
Fazendo a mudança de índice m=n-1, fica
f'(x)=summ=0^inftyx^mm!

Passo 3

Integrando termo a termo, cada termo tfracx^nn!
integral x^nn!,dx=x^n+1(n+1),n!+Cn
Somando tudo e agrupando a constante geral C,
integral f(x),dx =sumn=0^inftyx^n+1(n+1),n!+C
Fazendo k=n+1, obtemos
integral f(x),dx =sumk=1^inftyx^kk!+C

Resposta

ddxsumn=0^inftyx^nn! =sumn=0^inftyx^nn!,
integralsumn=0^inftyx^nn!,dx =sumn=1^inftyx^nn!+C

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