(valor: 2,50 ) Resolva o problema de valor inicial utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { se } t<0 \\\\ 1 & \text { se } t>0 \end{array} \quad y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial com termo forçante dependente de t\): \[y''+3y'+2y=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t>0, \end{cases}
  • Condições iniciais em t=0\]: \[y(0)=0,\qquad y'(0)=0.\] - O que é pedido: encontrar a solução \(y(t) (principalmente para t>0, onde a força passa a ser 1).
    Observação: vamos tratar o problema no contexto usual de transformada de Laplace, assumindo o sistema em repouso antes de t=0 (ou seja, buscando a solução causal para t\ge 0).]

Passo 2

Breve revisão (aula rápida) da transformada de Laplace útil aqui:
  • Definição: para uma função f(t) definida para t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedade linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de derivadas (útil para equações com condições iniciais): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Expliquei isso porque vamos transformar a EDO inteira para o domínio de s e resolver uma equação algébrica.
  • Transformada de uma constante (força unitária 1 para t>0):
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação (considerando t>0 e as condições iniciais y(0)=0,\\ y'(0)=0):
  • Tomando \mathcal{L} dos dois lados:
\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{1\}.
  • Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais (ambas zero), temos:
(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)) + 3(sY(s)-y(0)) + 2Y(s) = \frac{1}{s}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isto se reduz a
s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Resolver algebricamente para Y(s):
  • Colocando Y(s) em evidência:
Y(s)\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)=\frac{1}{s}.
  • Fatorando o polinômio quadrático:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
  • Logo
Y(s)=\frac{1}{s\,(s+1)(s+2)}.

Passo 5

Decompor em frações parciais para inverter a transformada:
  • Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
  • Multiplicando por s(s+1)(s+2) obtemos a identidade polinomial
1 = A(s+1)(s+2) + B s(s+2) + C s(s+1).
  • Determinamos A,B,C avaliando em valores convenientes:
    • s=0 1= A(1)(2)=2A\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
    • s=-1 1= B(-1)(1) = -B\Rightarrow B=-1.
    • s=-2 1= C(-2)(-1)=2C\Rightarrow C=\tfrac{1}{2}.
  • Assim
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s} \;-\; \frac{1}{s+1} \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo (mini-aula sobre inversas simples):
  • Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at} para t\ge0,
  • Invertendo cada termo da decomposição:
    • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{s}\}=\tfrac{1}{2},
    • \mathcal{L}^{-1}\{-\tfrac{1}{s+1}\}=-e^{-t},
    • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{s+2}\}=\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
  • Somando, para t>0,
y(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (mini-checagem útil na prova):
  • Valor em t=0^+:
y(0^+)=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0,
coincide com y(0)=0.
  • Derivando y(t) (para conferir y'(0)):
y'(t)=e^{-t}-e^{-2t},
logo
y'(0)=1-1=0,
coincide com y'(0)=0. Tudo consistente.

Passo 8

Interpretação final e conclusão:
  • A solução encontrada é a resposta causal para t\ge0. Se for necessário especificar para todo t, e assumindo repouso antes de t=0, tem-se y(t)=0 para t<0 e a expressão acima para t>0. No ponto t=0 a função é contínua e vale 0.

Resposta

y(t)=0 para t<0\n
y(t)=\dfrac{1}{2}-e^{-t}+\dfrac{1}{2}e^{-2t} para t>0

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