Equação diferencial com termo forçante dependente de t\):
\[y''+3y'+2y=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t>0, \end{cases}
Condições iniciais em t=0\]:
\[y(0)=0,\qquad y'(0)=0.\]
- O que é pedido: encontrar a solução \(y(t) (principalmente para t>0, onde a força passa a ser 1).
Observação: vamos tratar o problema no contexto usual de transformada de Laplace, assumindo o sistema em repouso antes de t=0 (ou seja, buscando a solução causal para t\ge 0).]
Passo 2
Breve revisão (aula rápida) da transformada de Laplace útil aqui:
Definição: para uma função f(t) definida para t\ge0,
Verificação rápida das condições iniciais (mini-checagem útil na prova):
Valor em t=0^+:
y(0^+)=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0,
coincide com y(0)=0.
Derivando y(t) (para conferir y'(0)):
y'(t)=e^{-t}-e^{-2t},
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y'(0)=1-1=0,
coincide com y'(0)=0. Tudo consistente.
Passo 8
Interpretação final e conclusão:
A solução encontrada é a resposta causal para t\ge0. Se for necessário especificar para todo t, e assumindo repouso antes de t=0, tem-se y(t)=0 para t<0 e a expressão acima para t>0. No ponto t=0 a função é contínua e vale 0.
Resposta
y(t)=0 para t<0\n y(t)=\dfrac{1}{2}-e^{-t}+\dfrac{1}{2}e^{-2t} para t>0