Considere um servidor de banco de dados que recebe consultas simultâneas durante um intervalo de monitoramento. O número de consultas recebidas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. Foi observado que a probabilidade de ocorrer exatamente 2 consultas nesse intervalo é igual a 2 / 3 da probabilidade de ocorrer exatamente 1 consulta. Com base nessa informação:
  1. Determine a probabilidade de P(X=0) e P(X=3).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada:
    • Durante o intervalo, o número de consultas X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda.
    • Foi observado que a probabilidade de ocorrer exatamente 2 consultas é igual a 2/3 da probabilidade de ocorrer exatamente 1 consulta. Em fórmula:
    P(X=2)=\tfrac{2}{3}\,P(X=1).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar P(X=0).
    2. Determinar P(X=3).

Passo 2

Relembrando a fórmula da distribuição de Poisson (aqui explico devagar para ficar claro).
  • A variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 se as probabilidades são dadas por:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
  • Nessa fórmula:
    • e^{-\lambda} é o fator que garante que as probabilidades somem 1.
    • \lambda^{k} cresce com k e mede a “força média” do processo elevada à k-ésima potência.
    • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3!=6, 0!=1).
  • Vou usar essa fórmula para relacionar P(X=2) e P(X=1) e descobrir \lambda.

Passo 3

Escrever P(X=1) e P(X=2) com a fórmula de Poisson e formar a razão.
P(X=1)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{1}}{1!}=e^{-\lambda}\lambda,
P(X=2)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2}}{2!}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2}}{2}.
A razão é
\frac{P(X=2)}{P(X=1)}=\frac{e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{2}}{2}}{e^{-\lambda}\lambda}=\frac{\lambda}{2}.
Pelo enunciado essa razão vale \tfrac{2}{3}. Então:
\frac{\lambda}{2}=\frac{2}{3}.
Agora resolvo para \lambda:
\lambda = 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Com \lambda=\tfrac{4}{3}, calculo P(X=0) usando a fórmula de Poisson para k=0:
P(X=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}.
Substituindo \lambda:
P(X=0)=e^{-4/3}.
Se quiser aproximação numérica:
e^{-4/3}\approx 0,2636.

Passo 5

Agora calculo P(X=3) para k=3:
P(X=3)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{3}}{3!}.
Substituindo \lambda=\tfrac{4}{3} e 3!=6:
\lambda^{3}=\left(\tfrac{4}{3}\right)^{3}=\tfrac{64}{27},
\frac{\lambda^{3}}{3!}=\frac{64}{27}\cdot\frac{1}{6}=\frac{64}{162}=\frac{32}{81}.
Portanto
P(X=3)=e^{-4/3}\cdot\frac{32}{81}.
Aproximação numérica:
P(X=3)\approx 0,2636\cdot 0,3950617\approx 0,1041.

Resposta

P(X=0)=e^{-4/3}\approx 0,2636
P(X=3)=e^{-4/3}\cdot\dfrac{32}{81}\approx 0,1041

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