Considere um servidor de banco de dados que recebe consultas simultâneas durante um intervalo de monitoramento. O número de consultas recebidas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Foi observado que a probabilidade de ocorrer exatamente 2 consultas nesse intervalo é igual a
da probabilidade de ocorrer exatamente 1 consulta. Com base nessa informação:
- Determine a probabilidade de
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Informação dada:
- Durante o intervalo, o número de consultas
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . - Foi observado que a probabilidade de ocorrer exatamente 2 consultas é igual a
da probabilidade de ocorrer exatamente 1 consulta. Em fórmula:
- Durante o intervalo, o número de consultas
-
O que o enunciado pede:
- Determinar
. - Determinar
.
- Determinar
Passo 2
Relembrando a fórmula da distribuição de Poisson (aqui explico devagar para ficar claro).
- A variável aleatória
tem distribuição de Poisson com parâmetro se as probabilidades são dadas por:
- Nessa fórmula:
-
é o fator que garante que as probabilidades somem . -
cresce com e mede a “força média” do processo elevada à -ésima potência. -
é o fatorial de (por exemplo, , ).
-
- Vou usar essa fórmula para relacionar
e e descobrir .
Passo 3
Escrever
e
com a fórmula de Poisson e formar a razão.
A razão é
Pelo enunciado essa razão vale
. Então:
Agora resolvo para
:
Passo 4
Com
, calculo
usando a fórmula de Poisson para
:
Substituindo
:
Se quiser aproximação numérica:
Passo 5
Agora calculo
para
:
Substituindo
e
:
Portanto
Aproximação numérica: