O consumo de CPU de um servidor durante uma operação é uma variável aleatória X com densidade:
f_{X}(x)=\frac{x}{2}, 0<x<k
O aquecimento da GPU do mesmo servidor é uma variável aleatória Y com densidade:
f_{Y}(y)=\frac{y^{3}}{4}, 0<y<2
  1. Determine o valor de k.

Passo 1

O enunciado dá duas densidades, mas a pergunta pede só o valor de k para a densidade de X. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
  • A variável aleatória X tem densidade
f_{X}(x)=\frac{x}{2},\quad 0<x<k.
  • Pergunta: determinar o valor de k.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicadinho): uma função densidade de probabilidade tem que satisfazer a propriedade de normalização, isto é, a área total sob a curva da densidade deve ser 1. Em fórmula:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Como f_X(x) é zero fora de 0<x<k, basta integrar nesse intervalo:
\int_{0}^{k} f_X(x)\,dx = 1.
Isso garante que a soma (ou área) de todas as probabilidades possíveis seja 1.

Passo 3

Agora colocamos a densidade dada dentro da integral de normalização:
\int_{0}^{k} \frac{x}{2}\,dx = 1.
Vou resolver essa integral passo a passo. Primeiro fatoramos a constante \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int_{0}^{k} x\,dx = 1.

Passo 4

Calcular a integral \int_{0}^{k} x\,dx. A primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{k} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{k} = \frac{k^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{k^{2}}{2}.
Voltando à expressão com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\cdot\frac{k^{2}}{2}=\frac{k^{2}}{4}.
Impondo a normalização:
\frac{k^{2}}{4}=1.

Passo 5

Resolver a equação \tfrac{k^{2}}{4}=1. Multiplicando ambos os lados por 4:
k^{2}=4.
Tomando a raiz quadrada, obtemos k=\pm 2. Mas k é o extremo superior do intervalo 0<x<k, logo deve ser positivo. Portanto
k=2.

Resposta

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