O consumo de CPU de um servidor durante uma operação é uma variável aleatória X com densidade:
f_{X}(x)=\frac{x}{2}, 0<x<k
O aquecimento da GPU do mesmo servidor é uma variável aleatória Y com densidade:
f_{Y}(y)=\frac{y^{3}}{4}, 0<y<2
Determine o valor de k.
Passo 1
O enunciado dá duas densidades, mas a pergunta pede só o valor de k para a densidade de X. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
A variável aleatória X tem densidade
f_{X}(x)=\frac{x}{2},\quad 0<x<k.
Pergunta: determinar o valor de k.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicadinho): uma função densidade de probabilidade tem que satisfazer a propriedade de normalização, isto é, a área total sob a curva da densidade deve ser 1. Em fórmula:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Como f_X(x) é zero fora de 0<x<k, basta integrar nesse intervalo:
\int_{0}^{k} f_X(x)\,dx = 1.
Isso garante que a soma (ou área) de todas as probabilidades possíveis seja 1.
Passo 3
Agora colocamos a densidade dada dentro da integral de normalização:
\int_{0}^{k} \frac{x}{2}\,dx = 1.
Vou resolver essa integral passo a passo. Primeiro fatoramos a constante \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int_{0}^{k} x\,dx = 1.
Passo 4
Calcular a integral \int_{0}^{k} x\,dx. A primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2}. Então