Suponha que estamos avaliando a latência de resposta de um servidor (em milissegundos). As respostas são consideradas aceitáveis se estiverem entre 45 e 55 ms . São consideradas ideais se estiverem entre 48 e 52 ms . A latência média observada é de 53 ms , com desvio-padrão de 3 ms .
  1. Em um lote de 200 respostas aceitáveis, queremos saber quantas delas devem ser ideais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do enunciado):
  • A latência segue, assumidamente, uma distribuição Normal com média \mu=53 ms e desvio-padrão \sigma=3 ms.
  • Respostas aceitáveis são aquelas com latência entre \,45 e \,55 ms.
  • Respostas ideais são aquelas com latência entre \,48 e \,52 ms.
  • Temos um lote de 200 respostas que já foram classificadas como aceitáveis (ou seja, sabemos que cada uma está em [45,55]).
    A pergunta é: em média, dentre essas 200 respostas aceitáveis, quantas devem ser ideais?

Passo 2

Estratégia e conceito importante (aula rápida e necessária).
O que queremos é a probabilidade condicional de uma resposta ser ideal dado que ela é aceitável. Em linguagem de probabilidade:
\Pr(\text{ideal}\mid\text{aceitável})=\frac{\Pr(\text{ideal e aceitável})}{\Pr(\text{aceitável})}.ááá
Como o intervalo de ideais [48,52] está contido no intervalo de aceitáveis [45,55], temos
\Pr(\text{ideal e aceitável})=\Pr(48\le X\le52).á
Logo
\Pr(\text{ideal}\mid\text{aceitável})=\frac{\Pr(48\le X\le52)}{\Pr(45\le X\le55)}.á
Depois de encontrar essa probabilidade condicional, a quantidade esperada de respostas ideais em 200 aceitáveis é
\text{esperança} = 200\cdot \Pr(\text{ideal}\mid\text{aceitável}).çá

Passo 3

Como trabalhar com a Normal (transformação para a Normal padrão).
Se X\sim N(\mu,\sigma^2) então Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} tem distribuição Normal padrão N(0,1). Usamos a função de distribuição cumulativa da Normal padrão, denotada por \Phi(\cdot), para calcular probabilidades do tipo \Pr(a\le X\le b)=\Phi\big(\tfrac{b-\mu}{\sigma}\big)-\Phi\big(\tfrac{a-\mu}{\sigma}\big).
Calculemos os z-scores dos pontos chave (cada cálculo mostrado passo a passo):
z_{45}=\frac{45-53}{3}=\frac{-8}{3}=-2{,}666\overline{6}\approx -2{,}6667.
z_{55}=\frac{55-53}{3}=\frac{2}{3}=0{,}666\overline{6}\approx 0{,}6667.
z_{48}=\frac{48-53}{3}=\frac{-5}{3}=-1{,}666\overline{6}\approx -1{,}6667.
z_{52}=\frac{52-53}{3}=\frac{-1}{3}=-0{,}333\overline{3}\approx -0{,}3333.
Esses z nos permitem escrever as probabilidades desejadas em termos de \Phi.

Passo 4

Calcular as probabilidades no numerador e denominador usando a Normal padrão.
Usamos a propriedade de simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) e tabelas/valores padrão para \Phi.
Primeiro o denominador (probabilidade de aceitável):
\Pr(45\le X\le55)=\Phi(z_{55})-\Phi(z_{45}).
Usando valores aproximados da tabela padrão:
\Phi(0{,}6667)\approx 0{,}7475, \qquad \Phi(-2{,}6667)=1-\Phi(2{,}6667)\approx 1-0{,}9962=0{,}0038.
Logo
\Pr(45\le X\le55)\approx 0{,}7475-0{,}0038=0{,}7437.
Agora o numerador (probabilidade de ideal):
\Pr(48\le X\le52)=\Phi(z_{52})-\Phi(z_{48}).
Usando a simetria e valores tabelados:
\Phi(-0{,}3333)=1-\Phi(0{,}3333)\approx 1-0{,}6293=0{,}3707, \qquad \Phi(-1{,}6667)=1-\Phi(1{,}6667)\approx 1-0{,}9525=0{,}0475.
Portanto
\Pr(48\le X\le52)\approx 0{,}3707-0{,}0475=0{,}3232.

Passo 5

Calcular a probabilidade condicional e interpretar.
\Pr(\text{ideal}\mid\text{aceitável})=\frac{0{,}3232}{0{,}7437}\approx 0{,}4346.á
Interpretação em palavras: entre as observações que caem no intervalo aceitável [45,55], cerca de 43{,}46\% esperaríamos que também estejam no intervalo ideal [48,52].

Passo 6

Converter em número esperado dentro do lote de 200.
\text{esperança} = 200\cdot 0{,}4346 \approx 86{,}92.ç
Arredondando para uma quantidade inteira (porque estamos contando respostas), obtemos aproximadamente 87 respostas ideais no lote de 200 aceitáveis.

Resposta

87

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