Seja \sigma(t)=\left(\ln t, t, \sqrt{1-t^{2}}, t^{2}\right). Determine o domínio de \sigma e calcule \sigma\left(\frac{3}{5}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor \sigma(t)=\bigl(\ln t,\;t,\;\sqrt{1-t^{2}},\;t^{2}\bigr)
e pede duas coisas: o domínio de \sigma e o valor de \sigma\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr).
Para resolver, vamos usar as restrições de existência de \ln t (que exige t>0) e de \sqrt{1-t^{2}} (que exige 1-t^{2}\ge0).

Passo 2

Impondo as condições:
  1. Para \ln t: t>0.
  2. Para \sqrt{1-t^{2}}:
1-t^{2}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad -1\le t\le1.
A interseção dessas condições é
0<t\le1,
ou seja, o domínio de \sigma é (0,1].

Passo 3

Para calcular \sigma\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr), substituímos t=\tfrac{3}{5} em cada componente: \ln t = \ln\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr), t = \tfrac{3}{5}, \sqrt{1-t^{2}} = \sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5}, t^{2} = \bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} = \tfrac{9}{25}.

Resposta

Domínio de \sigma: (0,1] \displaystyle \sigma\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)=\bigl(\ln\!\tfrac{3}{5},\;\tfrac{3}{5},\;\tfrac{4}{5},\;\tfrac{9}{25}\bigr)

Exercícios relacionados