Considere uma variável aleatória
.
Calcule:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
(ou seja, distribuição normal padrão, média zero e variância um) e pede o valor de
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dado:
. - Pedido: a probabilidade de que
seja maior que , isto é .
Passo 2
Definições e conceitos essenciais (explicação didática e direta):
- A função de distribuição acumulada (FDA) da normal padrão é
onde
.
- A probabilidade que queremos pode ser escrita em função de
como
Explicando:
é a probabilidade acumulada até
; a cauda à direita é o complemento.
Passo 3
Propriedade de simetria da normal padrão (aulas rápidas e úteis):
- A densidade da normal padrão é simétrica em torno de zero. Daí decorre a relação
- Usando isso, uma forma alternativa conveniente de escrever a cauda é
Isto significa que a área à direita de
é igual à área à esquerda de
.
Passo 4
Como obter numericamente
sem calculadora complicada:
- Tabelas z (tabelas da normal padrão) e calculadoras estatísticas padrão dão o valor aproximado
(Essa é uma entrada clássica:
é o valor crítico que deixa
de probabilidade central, por isso
.)
Passo 5
Cálculo final usando o complemento ou a simetria:
Ou, usando a simetria,
Passo 6
Interpretação curta e motivadora:
- Isso significa que, para a normal padrão, somente cerca de
das observações ficam acima de . Esse número é frequentemente usado em testes estatísticos (nível de significância de bilateral).