Considere uma variável aleatória X \sim N(0,1).
Calcule:
P(X>1,96)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória \,X\sim N(0,1)\, (ou seja, distribuição normal padrão, média zero e variância um) e pede o valor de
P(X>1{,}96).
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dado: \,X\sim N(0,1)\,.
  • Pedido: a probabilidade de que X seja maior que 1{,}96, isto é \,P(X>1{,}96)\,.

Passo 2

Definições e conceitos essenciais (explicação didática e direta):
  • A função de distribuição acumulada (FDA) da normal padrão é
\Phi(z)=P(X\le z),
onde X\sim N(0,1).
  • A probabilidade que queremos pode ser escrita em função de \Phi como
P(X>1{,}96)=1-\Phi(1{,}96).
Explicando: \Phi(1{,}96) é a probabilidade acumulada até 1{,}96; a cauda à direita é o complemento.

Passo 3

Propriedade de simetria da normal padrão (aulas rápidas e úteis):
  • A densidade da normal padrão é simétrica em torno de zero. Daí decorre a relação
\Phi(-z)=1-\Phi(z)\quad\text{para todo }z\ge0.
  • Usando isso, uma forma alternativa conveniente de escrever a cauda é
P(X>1{,}96)=\Phi(-1{,}96).
Isto significa que a área à direita de 1{,}96 é igual à área à esquerda de -1{,}96.

Passo 4

Como obter numericamente \Phi(1{,}96) sem calculadora complicada:
  • Tabelas z (tabelas da normal padrão) e calculadoras estatísticas padrão dão o valor aproximado
\Phi(1{,}96)=0{,}9750.
(Essa é uma entrada clássica: 1{,}96 é o valor crítico que deixa 95\% de probabilidade central, por isso \Phi(1{,}96)=0{,}9750.)

Passo 5

Cálculo final usando o complemento ou a simetria:
P(X>1{,}96)=1-\Phi(1{,}96)=1-0{,}9750=0{,}0250.
Ou, usando a simetria,
P(X>1{,}96)=\Phi(-1{,}96)=0{,}0250.

Passo 6

Interpretação curta e motivadora:
  • Isso significa que, para a normal padrão, somente cerca de 2{,}5\% das observações ficam acima de 1{,}96. Esse número é frequentemente usado em testes estatísticos (nível de significância de 5\% bilateral).

Resposta

0{,}0250

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