Considere uma variável aleatória X \sim N(0,1).
Calcule:
P(X \leq 1,96)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, isto é X \sim N(0,1). A pergunta é claramente: calcular a probabilidade
P(X \leq 1,96).
Vou listar o que temos de informação relevante:
  • X tem média 0 e variância 1.
  • Queremos a função de distribuição acumulada (CDF) avaliada em 1,96, isto é \Phi(1,96), onde \Phi é a CDF da normal padrão.

Passo 2

O que significa \Phi(z) e por que não é uma integral “simples”:
\Phi(z)=P(X\leq z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
Essa integral não tem uma antiderivada em forma elementar (não dá para escrever com funções simples), por isso usamos tabelas da normal padrão, calculadoras ou software para obter valores numéricos de \Phi(z).

Passo 3

Propriedade de simetria da normal padrão (muito útil): para qualquer z vale
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Explicação rápida e intuitiva: a densidade da N(0,1) é simétrica em torno de 0, então a probabilidade à esquerda de -z é igual à probabilidade à direita de z; como a distribuição é contínua, essa probabilidade à direita de z é 1-\Phi(z).

Passo 4

Usando fatos conhecidos e/ou a tabela da normal padrão:
  • É comum e muito utilizado o valor crítico \pm 1,96 porque ele captura aproximadamente 95\% da massa central: isto é,
P(-1,96 \leq X \leq 1,96)\approx 0,95.
Portanto as duas caudas juntas somam aproximadamente 0,05, e cada cauda (pela simetria) tem aproximadamente 0,025. Assim
P(X>1,96)=0,025\quad\Rightarrow\quad P(X\leq 1,96)=1-0,025=0,975.
Alternativamente, ao consultar uma tabela da normal padrão no valor z=1,96 (linha 1,9 e coluna 0,06) encontra-se diretamente
\Phi(1,96)=0,9750.

Passo 5

Confirmei que tanto pela leitura da tabela quanto pelo raciocínio das caudas se obtém o mesmo valor. Resultado com precisão adequada para provas e aplicações estatísticas: P(X\leq 1,96)=0,9750.

Resposta

0,9750

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