Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
e.
OBS.: O que acontece quando ?
Passo 1
O enunciado pede a Transformada de Fourier de
com a função de Heaviside (zero para , um para ). O conteúdo é o cálculo da TF via integral de uma exponencial complexa, e em seguida traçar os diagramas de módulo e fase em função de . Por fim, vamos discutir o que ocorre quando o parâmetro de decaimento real tende a zero.
Passo 2
A definição da TF é
Como para , podemos limitar a integral a :
Passo 3
No integrando, somam-se os expoentes:
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Passo 4
O módulo de é
que tem pico em omega=2 e decai simetricamente para frequências positivas e negativas.
A fase é
arg X(jomega) =-arctan!l(omega-2r),
pois argl(1+j(omega-2)r)=arctan(omega-2) e o recíproco inverte o sinal.
Passo 5
Em forma de esboço:
Diagrama de módulo: um pico centrado em omega=2, de altura 1 quando omega=2, caindo como 1/|omega-2|.
Diagrama de fase: passa por zero em omega=2, tende a -tfracpi2 para omegato+infty e a +tfracpi2 para omegato-infty.
Passo 6
Quando o termo real de decaimento ato0^+, a transformada tende a
1a+j(omega-2);longrightarrow;1j(omega-2),
o que em teoria de distribuições equivale a
pi,de<a(omega-2)+PV,1j(omega-2),
ou seja, surge um pico impulsivo em omega=2 (pois o sinal vira uma oscilação pura e^j2tu(t)).