Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
e. e^(-1+2 j) t u1(t)
OBS.: O que acontece quando a 0 ?

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier de
x(t)=e^(-1+2j)t,u(t),
com u(t) a função de Heaviside (zero para t<0, um para t>=0). O conteúdo é o cálculo da TF via integral de uma exponencial complexa, e em seguida traçar os diagramas de módulo e fase em função de omega. Por fim, vamos discutir o que ocorre quando o parâmetro de decaimento real a tende a zero.

Passo 2

A definição da TF é
X(jomega)=integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt
Como x(t)=0 para t<0, podemos limitar a integral a t>=0:
X(jomega)=integral0^inftye^(-1+2j)t,e^-jomega t,dt

Passo 3

No integrando, somam-se os expoentes:
(-1+2j)t - jomega t = -tl(1 + j(omega-2)r)
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X(jomega) =integral0^inftye^-tl(1 + j(omega-2)r),dt =[e^-t(1 + j(omega-2))-l(1 + j(omega-2)r)]0^infty =11 + j(omega-2)

Passo 4

O módulo de X(jomega) é
l|X(jomega)r| =1raiz1^2+(omega-2)^2 =1raiz1+(omega-2)^2,
que tem pico em omega=2 e decai simetricamente para frequências positivas e negativas.
A fase é
arg X(jomega) =-arctan!l(omega-2r),
pois argl(1+j(omega-2)r)=arctan(omega-2) e o recíproco inverte o sinal.

Passo 5

Em forma de esboço:
  • Diagrama de módulo: um pico centrado em omega=2, de altura 1 quando omega=2, caindo como 1/|omega-2|.
  • Diagrama de fase: passa por zero em omega=2, tende a -tfracpi2 para omegato+infty e a +tfracpi2 para omegato-infty.

Passo 6

Quando o termo real de decaimento ato0^+, a transformada tende a
1a+j(omega-2);longrightarrow;1j(omega-2),
o que em teoria de distribuições equivale a
pi,de<a(omega-2)+PV,1j(omega-2),
ou seja, surge um pico impulsivo em omega=2 (pois o sinal vira uma oscilação pura e^j2tu(t)).

Resposta

X(jomega)=11 + j(omega-2),
l|X(jomega)r|=1raiz1+(omega-2)^2, arg X(jomega)=-arctan(omega-2)
Quando ato0^+, X(jomega) diverge em omega=2 e, em sentido de distribuições, gera um impulso pide<a(omega-2).

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