Encontre a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais e esboce a magnitude e a fase em função da frequência, incluindo as frequências positivas e negativas.
e^-a t u(t), a é real e positivo

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal x(t)=e^-a tu(t), com a>0. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Fourier contínua
X(omega)=integral-infty^inftyx(t),e^-,jomega t,dt
e precisamos resolver essa integral para x(t).

Passo 2

Como x(t)=0 para t<0 e x(t)=e^-a t para t>=0, a transformada fica
X(omega)=integral0^inftye^-a t,e^-,jomega t,dt =integral0^inftye^-(a+jomega)t,dt
Essa é uma integral exponencial convergente porque Re(a+jomega)=a>0.

Passo 3

Calculando a integral, obtemos
X(omega) =[e^-(a+jomega)t-(a+jomega)]0^infty =1a+jomega

Passo 4

Para obter a magnitude, usamos
l|X(omega)r| =1l|a+jomegar| =1raiza^2+omega^2

Passo 5

Para a fase, usamos
arglX(omega)r =argla+jomegar^-1 =-argla+jomegar =-arctan!l(omegaar)
Note que l|X(omega)r| é função par de omega e arg X(omega) é ímpar.

Passo 6

Esboço qualitativo:
  • l|X(omega)r| tem valor máximo tfrac1a em omega=0 e decai simetricamente como 1/|omega| para grandes |omega|.
  • arg X(omega) vale 0 em omega=0, decai até -tfracpi2 quando omegato+infty e sobe até +tfracpi2 quando omegato-infty.

Resposta

X(omega) =1a+jomega, l|X(omega)r| =1raiza^2+omega^2, arg X(omega) =-arctan!l(omegaar)

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