Considere um sinal \mathrm{m}(t)=\cos \omega_{0} t. Mostre o efeito da sub-amostragem de \mathrm{m}(t) para uma taxa de amostragem f_{s}=(3 / 2) f_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para amostrar o sinal contínuo
m(t)=\cos(\omega_{0}t)
com uma frequência de amostragem
f_{s}=\frac{3}{2}f_{0}
e mostrar o efeito de sub-amostragem (aliasing). Vamos usar a definição de amostragem uniforme e depois analisar o espectro discreto.

Passo 2

O período de amostragem é
T_{s}=\frac{1}{f_{s}}=\frac{1}{\tfrac{3}{2}f_{0}}=\frac{2}{3\,f_{0}}.

Passo 3

A sequência amostrada m[n] é dada por
m[n]=m(nT_{s})=\cos\bigl(\omega_{0}\,nT_{s}\bigr).

Passo 4

Substituindo T_{s} em \omega_{0}=2\pi f_{0}:
\omega_{0}T_{s} =2\pi f_{0}\,\frac{2}{3\,f_{0}} =\frac{4\pi}{3}.
Logo
m[n]=\cos\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\,n\Bigr).

Passo 5

Como frequência discreta é definida módulo 2\pi, observa-se
\frac{4\pi}{3}\equiv \frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}
e, pela paridade do cosseno,
\cos\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}n\Bigr) =\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}n\Bigr).
Portanto a sequência amostrada é
m[n]=\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}n\Bigr).

Passo 6

Para achar a frequência equivalente no domínio contínuo aliased, note que a frequência discreta \Omega=2\pi/3 equivale a
f_{\text{alias}} =\frac{\Omega}{2\pi}\,f_{s} =\frac{1}{3}\,f_{s} =\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}f_{0} =\frac{1}{2}f_{0}.
Ou seja, o sinal amostrado aparece como um cosseno de frequência f_{0}/2, diferente da original f_{0}: isso é aliasing.

Resposta

A sequência amostrada é
m[n]=\cos\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}n\Bigr) =\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}n\Bigr),
o que corresponde a um alias no contínuo de f_{\text{alias}}=f_{0}/2.

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