Considere o sinal periódico x(t)=cos (5 t) sen (3 t).
Determine a expansão de x(t) em série de Fourier exponencial;

Passo 1

O enunciado pede para expandir o sinal periódico x(t)=cos(5t),sin(3t) em série de Fourier exponencial. Vamos usar identidades trigonométricas para reescrever o produto como soma de senos e depois converter cada seno em exponenciais.

Passo 2

Para transformar o produto cos(5t)sin(3t) em soma de funções seno, usamos a identidade cos Asin B=tfrac12[sin(B+A)+sin(B-A)]. Aplicando:

Passo 3

cos(5t)sin(3t)=12l[sin(3t+5t)+sin(3t-5t)r]

Passo 4

Agora simplificamos os argumentos dos senos:

Passo 5

sin(3t+5t)=sin(8t),sin(3t-5t)=sin(-2t)=-sin(2t)

Passo 6

Logo:

Passo 7

x(t)=12sin(8t)-12sin(2t)

Passo 8

Em seguida usamos a fórmula sin(omega t)=tfrac12jl(e^jomega t-e^-jomega tr) para cada termo:

Passo 9

12sin(8t)=12cdot12jl(e^j8t-e^-j8tr)=14jl(e^j8t-e^-j8tr)

Passo 10

12sin(2t)=12cdot12jl(e^j2t-e^-j2tr)=14jl(e^j2t-e^-j2tr)

Passo 11

Substituindo em x(t):

Passo 12

x(t)=14j(e^j8t-e^-j8t)-14j(e^j2t-e^-j2t)

Passo 13

Comparando com x(t)=sumk=-infty^inftyck e^jkt, vemos que só existem quatro coeficientes não nulos.

Resposta

Os coeficientes da série exponencial são:
c₈=1/(4j), c₋₈=−1/(4j), c₂=−1/(4j), c₋₂=1/(4j), e c_k=0 para os demais k.
Assim:
x(t)=sumkin-8,-2,2,8ck e^jkt

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