Considere o sinal periódico
sen
.
Determine a expansão de
em série de Fourier exponencial;
Determine a expansão de
Passo 1
O enunciado pede para expandir o sinal periódico
em série de Fourier exponencial. Vamos usar identidades trigonométricas para reescrever o produto como soma de senos e depois converter cada seno em exponenciais.
Passo 2
Para transformar o produto
em soma de funções seno, usamos a identidade
. Aplicando:
Passo 3
Passo 4
Agora simplificamos os argumentos dos senos:
Passo 5
Passo 6
Logo:
Passo 7
Passo 8
Em seguida usamos a fórmula
para cada termo:
Passo 9
Passo 10
Passo 11
Substituindo em
:
Passo 12
Passo 13
Comparando com
, vemos que só existem quatro coeficientes não nulos.
Resposta
Os coeficientes da série exponencial são:
c₈=1/(4j), c₋₈=−1/(4j), c₂=−1/(4j), c₋₂=1/(4j), e c_k=0 para os demais k.
c₈=1/(4j), c₋₈=−1/(4j), c₂=−1/(4j), c₋₂=1/(4j), e c_k=0 para os demais k.
Assim: