Problema 2 (2 pontos): Calcule, caso exista, o seguinte limite
lim x -4(raizx^2+9-5x+4+45) cdot cos (1x+4)

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = limxto -4l(raizx^2+9-5x+4+45r),cos!l(tfrac1x+4r)
Isso é um produto de uma parte algébrica que dá indeterminação 0/0 com cos(1/(x+4)), que fica oscilando entre -1 e 1. Vamos primeiro mostrar que a parte algébrica tende a zero e depois usar que cos é limitada.

Passo 2

Racionalizamos o quociente
raizx^2+9-5x+4 = l(raizx^2+9-5r)l(raizx^2+9+5r)(x+4)l(raizx^2+9+5r) = x^2+9-25(x+4)l(raizx^2+9+5r) = x^2-16(x+4)l(raizx^2+9+5r) = (x-4)(x+4)(x+4)l(raizx^2+9+5r) = x-4raizx^2+9+5
Logo a soma interna fica
raizx^2+9-5x+4 + 45 = x-4raizx^2+9+5 + 45 = 5(x-4) + 4l(raizx^2+9+5r)5l(raizx^2+9+5r)
No numerador temos
5(x-4) + 4l(raizx^2+9+5r) = 5x-20 +4raizx^2+9+20 = 5x + 4raizx^2+9
Ao fazer xto -4 este numerador vai a
5(-4) + 4raiz(-4)^2+9 = -20 +4cdot5 = 0,
enquanto o denominador tende a 5(5+5)=50neq0. Portanto
raizx^2+9-5x+4 + 45 ;xrightarrow[xto-4]; 0

Passo 3

Chamando
g(x)=raizx^2+9-5x+4+45,
acabamos de ver que limxto-4g(x)=0. Como cos(1/(x+4)) é sempre limitado por -1<= cos<=1, o produto
g(x),cos!l(tfrac1x+4r)
tende a 0cdot(valor finito)=0.

Resposta

0

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