Questão 3) (5, 0 ptos).
Mostre que a função f: D(f) subset R^n R, dada por f(x)=|x| é contínua em x=a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f: D(f)subsetR^ntoR, f(x)=|x|
é contínua em x=a.
O conteúdo que vamos usar é a definição de continuidade em espaço normado e a desigualdade triangular.

Passo 2

Recordando a definição, f é contínua em a se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<a Longrightarrow l|f(x)-f(a)r|<varepsilon
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre l|f(x)-f(a)r| e |x-a|.

Passo 3

Pela desigualdade triangular invertida em R^n temos, para quaisquer vetores x,a,
l||x|-|a|r| <= |x-a|
Como f(x)=|x| e f(a)=|a|, isso dá
l|f(x)-f(a)r| =l||x|-|a|r| <=|x-a|

Passo 4

Basta agora escolher
de<a = varepsilon
Então, sempre que |x-a|<de<a, temos
l|f(x)-f(a)r| <=|x-a| <de<a =varepsilon
Isso satisfaz a definição de continuidade em a.

Resposta

A função f(x)=|x| é contínua em x=a.

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