Considere um sinal senoidal com frequência f0: v(t)=A cos (2 pi f0 t). Deseja-se analisar os espectros dos sinais com retificação de meia onda, m(t), e retificação de onda completa, c(t).
Note que os períodos dos sinais retificados são diferentes: o sinal m(t) tem período fundamental T0 e o sinal c(t) tem período fundamental T1=T0 / 2. E a frequência do sinal senoidal é f0 nos dois casos.
Calcule os coeficientes da série complexa de Fourier do sinal com retificação de onda completa, Ck, por meio da solução da integral de cálculo dos coeficientes da série.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sinal senoidal com frequência v(t) = A cos(2pi f0 t) dado por:
Queremos analisar o espectro desse sinal quando ele passa por uma retificação de onda completa, resultando no sinal . Nosso objetivo é calcular os coeficientes da série de Fourier complexa desse sinal retificado, , usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier complexa. Ela serve para representar qualquer sinal periódico como uma soma de senos e cossenos de múltiplas frequências. A forma geral é:
c(t) = sumk=-infty^infty Ck e^j2pi k f1 t
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa encontrar, e é a frequência fundamental do sinal retificado.

Passo 3

Como estamos lidando com uma retificação de onda completa, o período fundamental do sinal T1 = T02 = 12f0 é metade do período original f1 = 2f0 . Então:
A frequência fundamental é o inverso de :

Passo 4

Agora, vamos escrever a expressão para o coeficiente Ck = 1T1 integral0^T1 c(t) e^-j2pi k f1 t dt da série de Fourier. A fórmula geral para calcular c(t) = |v(t)| = A |cos(2pi f0 t)| é:
Substituindo pela expressão da retificação de onda completa:

Passo 5

Vamos simplificar c(t) = A cos(2pi f0 t) para 0 <= t < 12f0 . Como , podemos escrever:
já que a coseno é positiva nesse intervalo após a retificação completa.

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do coeficiente:
Ck = AT1 integral0^T1 cos(2pi f0 t) e^-j2pi k f1 t dt
Lembrando que Ck = A12f0 integral0^12f0 cos(2pi f0 t) e^-j4pi k f0 t dt , então:
Ck = 2A f0 integral0^12f0 cos(2pi f0 t) e^-j4pi k f0 t dt
Simplificando:

Passo 7

Vamos utilizar a identidade de Euler para escrever o cosseno em termos de exponenciais:
cos(2pi f0 t) = e^j2pi f0 t + e^-j2pi f0 t2
Substituindo na integral:
Ck = 2A f0 integral0^12f0 e^j2pi f0 t + e^-j2pi f0 t2 e^-j4pi k f0 t dt
Simplificando:
Ck = A f0 integral0^12f0 ( e^j2pi f0 t + e^-j2pi f0 t ) e^-j4pi k f0 t dt
Ck = A f0 ( integral0^12f0 e^j2pi f0 t e^-j4pi k f0 t dt + integral0^12f0 e^-j2pi f0 t e^-j4pi k f0 t dt )

Passo 8

Vamos multiplicar os expoentes:
e^j2pi f0 t e^-j4pi k f0 t = e^j2pi f0 t - j4pi k f0 t = e^j2pi f0 t (1 - 2k)
e^-j2pi f0 t e^-j4pi k f0 t = e^-j2pi f0 t - j4pi k f0 t = e^-j2pi f0 t (1 + 2k)
Então, a expressão fica:
Ck = A f0 ( integral0^12f0 e^j2pi f0 t (1 - 2k) dt + integral0^12f0 e^-j2pi f0 t (1 + 2k) dt )

Passo 9

Vamos resolver as integrais. A integral de integral e^j2pi f0 t (1 - 2k) dt = e^j2pi f0 t (1 - 2k)j2pi f0 (1 - 2k) é integral e^-j2pi f0 t (1 + 2k) dt = e^-j2pi f0 t (1 + 2k)-j2pi f0 (1 + 2k) . Aplicando isso:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
Ck = A f0 ( [ e^j2pi f0 t (1 - 2k)j2pi f0 (1 - 2k) ]0^12f0 + [ e^-j2pi f0 t (1 + 2k)-j2pi f0 (1 + 2k) ]0^12f0 )

Passo 11

Calculando para os limites e^j2pi f0 t (1 - 2k)j2pi f0 (1 - 2k) |0^12f0 = e^j2pi f0 cdot 12f0 (1 - 2k) - 1j2pi f0 (1 - 2k) = e^jpi(1 - 2k) - 1j2pi f0 (1 - 2k) e e^-j2pi f0 t (1 + 2k)-j2pi f0 (1 + 2k) |0^12f0 = e^-j2pi f0 cdot 12f0 (1 + 2k) - 1-j2pi f0 (1 + 2k) = e^-jpi(1 + 2k) - 1-j2pi f0 (1 + 2k) :
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:

Passo 12

Simplificando as expressões usando identidades de exponenciais:
e^jpi(1 - 2k) = e^jpi cdot e^-j2pi k = (-1)(1) = -1
e^-jpi(1 + 2k) = e^-jpi cdot e^-j2pi k = (-1)(1) = -1
Então:
-1 -1j2pi f0 (1 - 2k) = -2j2pi f0 (1 - 2k) = -2j2pi f0 (1 - 2k)
-1 -1-j2pi f0 (1 + 2k) = -2-j2pi f0 (1 + 2k) = 2j2pi f0 (1 + 2k)

Passo 13

Juntando as duas partes:
Ck = A f0 ( -2j2pi f0 (1 - 2k) + 2j2pi f0 (1 + 2k) )
Simplificando:
Ck = A f0 cdot 2j2pi f0 ( -11 - 2k + 11 + 2k )
Ck = Ajpi ( -11 - 2k + 11 + 2k )

Passo 14

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
-11 - 2k + 11 + 2k = -1(1 + 2k) + 1(1 - 2k)(1 - 2k)(1 + 2k) = -1 - 2k + 1 - 2k1 - 4k^2 = -4k1 - 4k^2
Então:
Ck = Ajpi cdot -4k1 - 4k^2 = -4A kjpi (1 - 4k^2)

Passo 15

Podemos simplificar mais substituindo Ck = -4A kjpi (1 - 4k^2) = 4A kpi (1 - 4k^2) j :
Então, os coeficientes são imaginários.

Resposta

Os coeficientes da série complexa de Fourier do sinal com retificação de onda completa são:
Ck = 4A kpi (1 - 4k^2) j

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