Considere um sinal senoidal com frequência . Deseja-se analisar os espectros dos sinais com retificação de meia onda, , e retificação de onda completa, .
Note que os períodos dos sinais retificados são diferentes: o sinal tem período fundamental e o sinal tem período fundamental . E a frequência do sinal senoidal é nos dois casos.
Calcule os coeficientes da série complexa de Fourier do sinal com retificação de onda completa, , por meio da solução da integral de cálculo dos coeficientes da série.
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sinal senoidal com frequência dado por:
Queremos analisar o espectro desse sinal quando ele passa por uma retificação de onda completa, resultando no sinal . Nosso objetivo é calcular os coeficientes da série de Fourier complexa desse sinal retificado, , usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier complexa. Ela serve para representar qualquer sinal periódico como uma soma de senos e cossenos de múltiplas frequências. A forma geral é:
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa encontrar, e é a frequência fundamental do sinal retificado.
Passo 3
Como estamos lidando com uma retificação de onda completa, o período fundamental do sinal é metade do período original . Então:
A frequência fundamental é o inverso de :
Passo 4
Agora, vamos escrever a expressão para o coeficiente da série de Fourier. A fórmula geral para calcular é:
Substituindo pela expressão da retificação de onda completa:
Passo 5
Vamos simplificar . Como , podemos escrever:
já que a coseno é positiva nesse intervalo após a retificação completa.
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula do coeficiente:
Lembrando que , então:
Simplificando:
Passo 7
Vamos utilizar a identidade de Euler para escrever o cosseno em termos de exponenciais:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 8
Vamos multiplicar os expoentes:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Vamos resolver as integrais. A integral de é . Aplicando isso:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 10
Substituindo os limites de integração:
Passo 11
Calculando para os limites e :
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 12
Simplificando as expressões usando identidades de exponenciais: