Seja g: R R diferenciável, com g(1)=pi2 e g^prime(1)=-2. Calcule f^prime(0), onde f(x)=cos (g(e^x+x)) sen(g(e^x-x)).
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve derivadas de funções compostas e produtos de funções trigonométricas. Precisamos calcular , onde . Para isso, vamos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identificamos que f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) é o produto de duas funções:
Para derivar , usamos a regra do produto:

Passo 3

Vamos calcular u'(x) = -sin(g(e^x + x)) cdot g'(e^x + x) cdot (e^x + 1) . Usamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o cosseno para obter o menos seno, multiplicamos pela derivada interna e pela derivada de , que é .

Passo 4

Agora, calculamos v'(x) = cos(g(e^x - x)) cdot g'(e^x - x) cdot (e^x - 1) , também usando a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o seno para obter o cosseno, multiplicamos pela derivada interna e pela derivada de , que é .

Passo 5

Substituímos f'(x) = [-sin(g(e^x + x)) cdot g'(e^x + x) cdot (e^x + 1)] cdot sin(g(e^x - x)) + cos(g(e^x + x)) cdot [cos(g(e^x - x)) cdot g'(e^x - x) cdot (e^x - 1)] e na expressão da derivada de :

Passo 6

Agora, vamos substituir f'(0) = [-sin(pi2) cdot (-2) cdot (1 + 1)] cdot sin(pi2) + cos(pi2) cdot [cos(pi2) cdot (-2) cdot (1 - 1)] na expressão de :
Substituindo:

Passo 7

Simplificando os valores trigonométricos:
  • f'(0) = [-1 cdot (-2) cdot 2] cdot 1 + 0 cdot [0 cdot (-2) cdot 0] = (4) + 0 = 4
Substituindo:

Resposta

4

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