Um engenheiro precisa calcular o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 10 m , raio interior 4 m e espessura
. Sendo
a função que descreve este volume, determine o erro
decorrente da utilização de diferenciais.
Observação: A resposta deve contar 5 casas decimais.
Observação: A resposta deve contar 5 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o erro
ao usar diferenciais para determinar o volume de uma coroa cilíndrica fina. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial aplicado ao volume de cilindros. Vamos precisar das fórmulas de volume de cilindro e de diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma coroa cilíndrica. Imagine dois cilindros, um maior e um menor, onde a coroa é a parte entre eles. O volume da coroa é a diferença entre os volumes desses dois cilindros.
Passo 3
A fórmula do volume de um cilindro é
, onde
é o raio e
é a altura. No nosso caso, o cilindro menor tem raio
e o cilindro maior tem raio
.
Passo 4
Vamos calcular o volume exato da coroa, que é
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferencial
. A diferencial de
em relação a
é:
Derivando
em relação a
:
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o erro
:
Calculando cada parte:
Resposta
O erro
é aproximadamente
.