Um engenheiro precisa calcular o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 10 m , raio interior 4 m e espessura 0,05 m. Sendo V(r)=pi r^2 h a função que descreve este volume, determine o erro De decorrente da utilização de diferenciais.
Observação: A resposta deve contar 5 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o erro ao usar diferenciais para determinar o volume de uma coroa cilíndrica fina. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial aplicado ao volume de cilindros. Vamos precisar das fórmulas de volume de cilindro e de diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma coroa cilíndrica. Imagine dois cilindros, um maior e um menor, onde a coroa é a parte entre eles. O volume da coroa é a diferença entre os volumes desses dois cilindros.

Passo 3

A fórmula do volume de um cilindro é , onde é o raio e é a altura. No nosso caso, o cilindro menor tem raio e o cilindro maior tem raio .

Passo 4

Vamos calcular o volume exato da coroa, que é V(4,05) = pi (4,05)^2 times 10 :
V(4) = pi (4)^2 times 10
De

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferencial dV = V'(r) , dr . A diferencial de V'(r) = 2pi r h em relação a dV = 2pi r h times De é:
Derivando em relação a :
Então,

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o erro De:
(4,05)^2 = 16,4025
Calculando cada parte:
16,4025 - 16 = 0,4025
De
dV = 2pi times 4 times 10 times 0,05 = 4pi
De

Resposta

O erro é aproximadamente .

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