Considere que o sinal x[n] tenha a seguinte transformada Z: X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}, com região de convergência |z|<4. Utilize as propriedades da transformada Z para calcular a transformada dos seguintes sinais. Verifique também a região de convergência.
y[n]=x[n-2]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos x[n] com transformada
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}
e região de convergência |z|<4. Queremos a transformada Y(z) de y[n]=x[n-2] usando propriedades da transformada Z.

Passo 2

A propriedade de deslocamento no tempo na transformada Z diz que, para todo inteiro n_{0}>0,
Z\{x[n-n_{0}]\}=z^{-n_{0}}\,X(z),
sujeito a ajustar a ROC caso surjam polos em z=0 ou em z=\infty.

Passo 3

Aplicando com n_{0}=2, obtemos
Y(z)=Z\{x[n-2]\}=z^{-2}X(z) =z^{-2}\,\frac{z^{2}}{z^{2}-16} =\frac{1}{z^{2}-16}.

Passo 4

Para determinar a ROC de Y(z), observamos que o denominador z^{2}-16 tem polos simples em z=\pm4. Como x[n] tinha ROC |z|<4 (sinal de suporte à esquerda) e o deslocamento no tempo não altera essa característica, y[n] também é suportado à esquerda. Além disso, não há polo em z=0, logo a ROC permanece
|z|<4.

Resposta

Y(z)=\frac{1}{z^{2}-16},\quad \text{ROC: }|z|<4.

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