Determine a transformada Z para cada um dos seguintes sinais. Calcule e esboce o diagrama referente à região de convergência. Nesta questão deve ser utilizada a tabela de transformadas e propriedades, ou seja, não desenvolva via somatório.
x[n]=\left(\frac{-1}{3}\right)^{n} u[-n-2]

Passo 1

O enunciado pede a transformada X(z) de
x[n]=\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{n}\,u[-n-2]
sem fazer soma direta, mas usando transformadas conhecidas e propriedades de descolamento e reversão de tempo. Vamos precisar da transformada de
g[n]=a^{n}\,u[-n]
e das propriedades de reversão de tempo n\to -n e de deslocamento n\to n-n_{0}.

Passo 2

Definimos
g[n]=a^{n}\,u[-n],\quad a=-\tfrac13.
Da tabela ou somando de n=-\infty até 0, tem-se
G(z)=\sum_{n=-\infty}^{0}a^{n}\,z^{-n} =\sum_{k=0}^{\infty}a^{-k}\,z^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{z}{a}\Bigr)^{k} =\frac{1}{1-\frac{z}{a}},
com região de convergência \bigl|z/a\bigr|<1, ou seja \lvert z\rvert<\lvert a\rvert=\tfrac13. Reescrevendo,
G(z)=\frac{1}{1-\tfrac{z}{a}} =\frac{a}{a-z}.

Passo 3

Observe que
u[-n-2]=u\bigl[-(n+2)\bigr],
logo podemos escrever
x[n] =a^{n}\,u[-n-2] =g[n+2],
isto é, x[n] é g[n] deslocada para a esquerda de 2 amostras n_{0}=-2.

Passo 4

Pela propriedade de deslocamento: se h[n]=g[n-n_{0}] então
H(z)=z^{-n_{0}}\,G(z).
Aqui temos x[n]=g[n-(-2)], logo n_{0}=-2 e
X(z)=z^{-(-2)}\,G(z)=z^{2}\,G(z).

Passo 5

Substituindo G(z)=\dfrac{a}{a-z} com a=-\tfrac13, obtemos
X(z) = z^{2}\,\frac{a}{a-z} = z^{2}\,\frac{-\tfrac13}{-\tfrac13 - z} = \frac{-\tfrac13\,z^{2}}{-\!\bigl(z+\tfrac13\bigr)} = \frac{z^{2}}{3z+1}.
A região de convergência não se altera pelo fator z^{2}, portanto
\text{ROC:}\quad \lvert z\rvert<\tfrac13.

Resposta

X(z)=\frac{z^{2}}{3z+1}, \quad \text{ROC: }\lvert z\rvert<\tfrac13.
Diagrama de polos e zeros:
– Polo simples em z=-\tfrac13.
– Região de convergência é o interior do círculo \lvert z\rvert=\tfrac13.

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