Considere que o sinal x[n] tenha a seguinte transformada Z: X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}, com região de convergência |z|<4. Utilize as propriedades da transformada Z para calcular a transformada dos seguintes sinais. Verifique também a região de convergência.
y[n]=x[n+1]+x[n-1]

Passo 1

O enunciado diz que o sinal x[n] tem a transformada de Z
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}
com região de convergência |z|<4. Precisamos usar propriedades de deslocamento em n para achar a transformada
Y(z)=\mathcal{Z}\{y[n]\}
quando
y[n]=x[n+1]+x[n-1].

Passo 2

Lembrando a propriedade de deslocamento no domínio do tempo para a transformada de Z:
se X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}, então
\mathcal{Z}\{x[n-k]\}=z^{-k}\,X(z).
Aqui temos dois casos:
  1. x[n+1]=x[n-(-1)] faz k=-1, logo
\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=z^{-(-1)}\,X(z)=z\,X(z).
  1. x[n-1] faz k=1, logo
\mathcal{Z}\{x[n-1]\}=z^{-1}\,X(z).

Passo 3

Como y[n]=x[n+1]+x[n-1], a transformada é soma das duas
Y(z)=z\,X(z)+z^{-1}\,X(z) =(z+z^{-1})\,X(z).

Passo 4

Substituindo X(z)=\dfrac{z^2}{z^2-16} em Y(z):
Y(z) =(z+z^{-1})\;\frac{z^2}{z^2-16} =\frac{z^3+z}{\,z^2-16\,}.

Passo 5

A região de convergência é a interseção das ROCs de cada termo. Como ambas requerem |z|<4 (e, por consistência do sinal anti-causal, excluem z=0), temos
\text{ROC de }Y(z):\quad 0<|z|<4.

Resposta

Y(z)=\frac{z^3+z}{z^2-16}, \quad\text{ROC: }0<|z|<4.

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