Um sinal de entrada x(t)=\cos \left(w_{o} t\right) é amostrado por um trem de impulsos, com frequência de amostragem w_{s}=\frac{3}{2} w_{o}. Na sequência, o sinal amostrado é filtrado por um filtro passa-baixas ideal com frequência de corte igual a w_{c}=\frac{3}{4} w_{o}.
a) Esboce a transformada de Fourier do sinal amostrado.
b) Determine o sinal de saída filtrado. Houve aliasing? Explique.

Passo 1

O enunciado dá um sinal de entrada
x(t)=\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr)
amostrado por um trem de impulsos de freqüência de amostragem
\omega_{s}=\tfrac{3}{2}\,\omega_{0},
ou seja, T_{s}=\tfrac{2\pi}{\omega_{s}}=\tfrac{4\pi}{3\omega_{0}}. Em seguida esse sinal amostrado passa num filtro ideal passa-baixas de frequência de corte
\omega_{c}=\tfrac{3}{4}\,\omega_{0}.
Pede‐se (a) esboçar a transformada de Fourier do sinal amostrado e (b) determinar o sinal de saída e comentar sobre aliasing.

Passo 2

Primeiro lembramos que a transformada de Fourier do coseno é
X(\omega) =\pi\,\bigl[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})\bigr].
A amostragem multiplica x(t) pelo trem de impulsos
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_{s}),
cuja FT é um trem de impulsos
P(\omega)=\frac{2\pi}{T_{s}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_{s}).
No domínio da frequência a amostragem corresponde a convoluir X(\omega) com P(\omega) e dividir por 2\pi, ficando
X_{s}(\omega) =\frac{1}{2\pi}\,X(\omega)\ast P(\omega) =\frac{1}{T_{s}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_{s}).

Passo 3

Substituindo X(\omega) obtemos
X_{s}(\omega) =\frac{\pi}{T_{s}}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigl[\delta\bigl(\omega-(\omega_{0}+k\omega_{s})\bigr) +\delta\bigl(\omega-(-\omega_{0}+k\omega_{s})\bigr)\Bigr].
Como \omega_{s}=\tfrac{3}{2}\omega_{0}, os raios aparecem em
\omega=\pm\omega_{0}+k\,\tfrac{3}{2}\omega_{0},
isto é, para k=0 em \pm1\cdot\omega_{0}, para k=1 em \omega_{0}+1{,}5\,\omega_{0}=2{,}5\,\omega_{0} e -\omega_{0}+1{,}5\,\omega_{0}=0{,}5\,\omega_{0}, para k=-1 em -2{,}5\,\omega_{0} e -0{,}5\,\omega_{0}, etc. Todos têm peso \pi/T_{s}.
Esquematicamente, entre -3\omega_{0} e +3\omega_{0} temos impulsos em
\begin{aligned} &-2{,}5\,\omega_{0},\;-1{,}0\,\omega_{0},\;-0{,}5\,\omega_{0}, \quad +0{,}5\,\omega_{0},\;+1{,}0\,\omega_{0},\;+2{,}5\,\omega_{0}, \end{aligned}
cada um com amplitude \pi/T_{s}.

Passo 4

O filtro passa-baixas ideal de corte \omega_{c}=\tfrac{3}{4}\omega_{0} deixa passar somente as componentes com |\omega|\le 0{,}75\,\omega_{0}. Dessas acima, apenas os impulsos em \omega=\pm0{,}5\,\omega_{0} caem na banda de passagem. Logo a saída em frequência é
X_{o}(\omega) =\frac{\pi}{T_{s}}\Bigl[\delta(\omega-0{,}5\,\omega_{0}) +\delta(\omega+0{,}5\,\omega_{0})\Bigr].
Fazendo a transformada inversa,
x_{o}(t) =\frac{1}{2\pi}\int X_{o}(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega =\frac{\pi}{T_{s}}\frac{1}{2\pi}\bigl(e^{j0{,}5\omega_{0}t}+e^{-j0{,}5\omega_{0}t}\bigr) =\frac{1}{T_{s}}\cos\bigl(0{,}5\,\omega_{0}t\bigr).
Em termos de \omega_{s}, \tfrac{1}{T_{s}}=\tfrac{\omega_{s}}{2\pi}=\tfrac{3\omega_{0}}{4\pi}, mas o importante é que a forma é um cosseno de frequência \tfrac{1}{2}\omega_{0}.

Passo 5

Como \omega_{s}=1{,}5\,\omega_{0}<2\,\omega_{0}, violamos a condição de Nyquist f_{s}<2f_{0} e ocorre aliasing: a componente original em \pm\omega_{0} “dobra” para \pm(\omega_{0}-\omega_{s})=\pm0{,}5\,\omega_{0}, e o filtro recupera apenas essa.

Resposta

O espectro amostrado é uma série de impulsos em \omega=\pm\omega_{0}+k\,\tfrac{3}{2}\omega_{0} (peso \pi/T_{s}), destacando-se, entre -3\omega_{0} e +3\omega_{0}, impulsos em \{-2{,}5, -1, -0{,}5, +0{,}5, +1, +2{,}5\}\omega_{0}.
O sinal de saída é
x_{o}(t)=\frac{1}{T_{s}}\cos\!\bigl(0{,}5\,\omega_{0}t\bigr),
ou seja, um cosseno de frequência \tfrac{\omega_{0}}{2}. Houve aliasing porque \omega_{s}<2\,\omega_{0}.

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