Um sinal de entrada
é amostrado por um trem de impulsos, com frequência de amostragem
. Na sequência, o sinal amostrado é filtrado por um filtro passa-baixas ideal com frequência de corte igual a
.
a) Esboce a transformada de Fourier do sinal amostrado.
b) Determine o sinal de saída filtrado. Houve aliasing? Explique.
a) Esboce a transformada de Fourier do sinal amostrado.
b) Determine o sinal de saída filtrado. Houve aliasing? Explique.
Passo 1
O enunciado dá um sinal de entrada
amostrado por um trem de impulsos de freqüência de amostragem
ou seja,
. Em seguida esse sinal amostrado passa num filtro ideal passa-baixas de frequência de corte
Pede‐se (a) esboçar a transformada de Fourier do sinal amostrado e (b) determinar o sinal de saída e comentar sobre aliasing.
Passo 2
Primeiro lembramos que a transformada de Fourier do coseno é
A amostragem multiplica
pelo trem de impulsos
cuja FT é um trem de impulsos
No domínio da frequência a amostragem corresponde a convoluir
com
e dividir por
, ficando
Passo 3
Substituindo
obtemos
Como
, os raios aparecem em
isto é, para
em
, para
em
e
, para
em
e
, etc. Todos têm peso
.
Esquematicamente, entre
e
temos impulsos em
cada um com amplitude
.
Passo 4
O filtro passa-baixas ideal de corte
deixa passar somente as componentes com
. Dessas acima, apenas os impulsos em
caem na banda de passagem. Logo a saída em frequência é
Fazendo a transformada inversa,
Em termos de
,
, mas o importante é que a forma é um cosseno de frequência
.
Passo 5
Como
, violamos a condição de Nyquist
e ocorre aliasing: a componente original em
“dobra” para
, e o filtro recupera apenas essa.
Resposta
O espectro amostrado é uma série de impulsos em
(peso
), destacando-se, entre
e
, impulsos em
.
O sinal de saída é
O sinal de saída é
ou seja, um cosseno de frequência
. Houve aliasing porque
.