Considere que o sinal x[n] tenha a seguinte transformada Z: X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}, com região de convergência |z|<4. Utilize as propriedades da transformada Z para calcular a transformada dos seguintes sinais. Verifique também a região de convergência.
y[n]=x[n] * x[n-3]

Passo 1

O enunciado dá o sinal x[n] cuja transformada é
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16},
com região de convergência |z|<4. Pede-se a transformada Y(z) de
y[n]=x[n]*x[n-3].
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de convolução no tempo (que vira produto no domínio Z) e a propriedade de deslocamento no tempo (que gera fator z^{-k}).

Passo 2

Pela propriedade de deslocamento,
x[n-3]\\ \longleftrightarrow\\ z^{-3}X(z).
Pela propriedade de convolução,
y[n]=x[n]*x[n-3] \quad\Longrightarrow\quad Y(z)=X(z)\cdot\bigl(z^{-3}X(z)\bigr) = z^{-3}\bigl(X(z)\bigr)^2.

Passo 3

Substituindo X(z)=\dfrac{z^2}{z^2-16} em Y(z)=z^{-3}X(z)^2, temos
Y(z) = z^{-3}\,\frac{(z^2)^2}{(z^2-16)^2} = z^{-3}\,\frac{z^4}{(z^2-16)^2} = \frac{z}{(z^2-16)^2}.

Passo 4

A região de convergência de Y(z) é a interseção das ROCs de X(z) e de z^{-3}X(z). Ambas são |z|<4, e o deslocamento não altera a ROC. Além disso, devemos excluir os polos duplos em z=\pm4. Logo,
\text{ROC: }|z|<4.

Resposta

Y(z)=\frac{z}{(z^2-16)^2},\qquad\text{ROC: }|z|<4.

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