Considere que o sinal x[n] tenha a seguinte transformada Z: X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}, com região de convergência |z|<4. Utilize as propriedades da transformada Z para calcular a transformada dos seguintes sinais. Verifique também a região de convergência.
y[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} x[n]

Passo 1

O enunciado dá a transformada de x[n] como
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}
com região de convergência |z|<4, e pede a transformada de
y[n]=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}x[n].
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de escala no domínio do tempo: multiplicar por a^n equivale a avaliar a Z-transformada em um ponto escalado.

Passo 2

Propriedade de escala: se
y[n]=a^n\,x[n],
então
Y(z)=\sum_{n}y[n]\,z^{-n}=\sum_{n}x[n]\,(z/a)^{-n}=X\bigl(z/a\bigr).
No nosso caso a=\tfrac12, assim
Y(z)=X\bigl(z/(1/2)\bigr)=X(2z).

Passo 3

Substituindo z\to 2z em X(z), obtemos
Y(z)=X(2z) =\frac{(2z)^{2}}{(2z)^{2}-16} =\frac{4z^{2}}{4(z^{2}-4)} =\frac{z^{2}}{z^{2}-4}.

Passo 4

Para a região de convergência, usamos a condição original |w|<4 onde w=2z. Assim
|2z|<4 \quad\Longrightarrow\quad |z|<2.

Resposta

Y(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-4}
ROC: |z|<2.

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