Da solução do exercício 1 , sabemos que, se
x(t)=e^-2|t|
então
X(omega)=44+omega^2
Então, usando as propriedades de linearidade e dualidade, obtenha a Transformada de Fourier dos sinais:
a. y(t)=14+t^2
b. z(t)=14+t^2 cos 2 t

Passo 1

O enunciado nos dá que, da Solução do Exercício 1,
x(t)=e^-2|t|Long<=ftrightarrow X(omega)=44+omega^2
e pede a Transformada de Fourier de
y(t)=14+t^2 e de
z(t)=14+t^2cos 2t.
Vamos usar as propriedades de dualidade e de modulação (multiplicação por cosseno).

Passo 2

Aplicamos a propriedade de dualidade, que diz: se
x(t) long<=ftrightarrow X(omega)
então
X(t) long<=ftrightarrow 2pi,x(-omega)
Aqui temos X(t)=4/(4+t^2). Logo, trocando o papel de tempo e frequência, obtemos
y(t)=14+t^2Long<=ftrightarrow Y(omega) =2pi,e^-2|omega|

Passo 3

Agora usamos a propriedade de modulação: multiplicar um sinal por cos(2t) equivale a deslocar sua TF e somar, isto é,
y(t)cos(2t) long<=ftrightarrow 12l[Y(omega-2)+Y(omega+2)r]
Como z(t)=y(t)cos(2t) e Y(omega)=2pi e^-2|omega|, segue
Z(omega) =12l[2pi e^-2|omega-2|+2pi e^-2|omega+2|r] =pil(e^-2|omega-2|+e^-2|omega+2|r)

Resposta

(a) Y(omega)=2pi,e^-2|omega|
(b) Z(omega)=pil(e^-2|omega-2|+e^-2|omega+2|r)

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