Obtenha a transformada de Fourier,
a. De um impulso unitário
;
b. Da função degrau
, a partir da definição
c. A partir do item b, derive a resposta e recupere a solução do item a.
a. De um impulso unitário
b. Da função degrau
c. A partir do item b, derive a resposta e recupere a solução do item a.
Passo 1
O exercício pede a transformada de Fourier de δ(t) (impulso unitário) e de u(t) (degrau), e depois usar a propriedade de derivada para relacionar as duas. O conteúdo é transformada de Fourier de distribuições e as propriedades de δ(t) e da derivada no domínio do tempo.
Passo 2
A definição de transformada de Fourier que vamos usar é
Aplicando em x(t)=δ(t) e lembrando que
, obtemos F{δ(t)}=1.
Passo 3
Para u(t), usamos u(t)=
. Em vez de integrar diretamente, lembramos o resultado clássico para u(t):
Logo, F{u(t)}=
.
Passo 4
Usando a propriedade de derivada no tempo F{d x(t)/dt}=j\omega X(\omega), e sabendo que d/dt [u(t)]=δ(t), temos
Como jωδ(ω)=0 em distribuições, sobra F{δ(t)}=1, recuperando o item (a).
Resposta
a) F{δ(t)}=1
b) F{u(t)}=PV\bigl(1/(j\omega)\bigr)+\pi\delta(\omega)
c) Aplicando F{δ(t)}=jωF{u(t)} recupera-se 1, conforme (a).
b) F{u(t)}=PV\bigl(1/(j\omega)\bigr)+\pi\delta(\omega)
c) Aplicando F{δ(t)}=jωF{u(t)} recupera-se 1, conforme (a).