Obtenha a transformada de Fourier,
a. De um impulso unitário de<a(t);
b. Da função degrau u(t), a partir da definição u(t)=integral-infty^t de<a(t) d t
c. A partir do item b, derive a resposta e recupere a solução do item a.

Passo 1

O exercício pede a transformada de Fourier de δ(t) (impulso unitário) e de u(t) (degrau), e depois usar a propriedade de derivada para relacionar as duas. O conteúdo é transformada de Fourier de distribuições e as propriedades de δ(t) e da derivada no domínio do tempo.

Passo 2

A definição de transformada de Fourier que vamos usar é
X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dt
Aplicando em x(t)=δ(t) e lembrando que integral-infty^inftyde<a(t)f(t),dt=f(0), obtemos F{δ(t)}=1.

Passo 3

Para u(t), usamos u(t)= integral-infty^tde<a(τ),dτ. Em vez de integrar diretamente, lembramos o resultado clássico para u(t):
integral0^inftye^-jomega t,dt=PVl(tfrac1jomegar)+pide<a(omega)
Logo, F{u(t)}= PV(1/(jomega))+pide<a(omega).

Passo 4

Usando a propriedade de derivada no tempo F{d x(t)/dt}=j\omega X(\omega), e sabendo que d/dt [u(t)]=δ(t), temos
Fδ(t)=jomega,Fu(t)=jomegal(PVl(tfrac1jomegar)+pide<a(omega)r)=1 + jomegapide<a(omega)
Como jωδ(ω)=0 em distribuições, sobra F{δ(t)}=1, recuperando o item (a).

Resposta

a) F{δ(t)}=1
b) F{u(t)}=PV\bigl(1/(j\omega)\bigr)+\pi\delta(\omega)
c) Aplicando F{δ(t)}=jωF{u(t)} recupera-se 1, conforme (a).

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