Considere o sistema F(2,8,-10,10). Represente no sistema os números: x1=raiz8, x2=e^2, e x3=3.57. Existe algum com representação exata neste sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que a gente tem um sistema de ponto-flutuante
F(2,8,-10,10)
ou seja, base b=2, mantissa com p=8 dígitos em binário e expoentes e que vão de -10 a 10.
Precisamos ver se os números
x1=raiz8, x2=e^2, x3=3.57
podem ser representados exatamente nesse sistema.
Conteúdo: sistemas de ponto-flutuante, representação normalizada em base b, condição de exatidão (expansão finita).

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Um número real xneq0 tem representação exata em F(b,p,l,u) se e só se dá pra escrevê-lo na forma normalizada x = pm(d0d1d2ldots dp-1)b times b^e,
    com d0neq0 e l<= e<= u, e essa expansão em base b termina em no máximo p dígitos.
    2) Em especial, um racional m/n (na forma irredutível) termina em base b só se n tiver como fatores primos apenas o b.
    3) Números irracionais (tipo raiz2 ou e) têm expansão infinita em qualquer base, logo nunca cabem exatamente em um número finito de dígitos.

Passo 3

Analisando x1=raiz8:
  • Note que raiz8=2raiz2 e raiz2 é irracional.
  • Toda irracional tem expansão infinita em base 2, então não dá pra terminá-la em 8 dígitos de mantissa.
  • Conclusão: raiz8 não tem representação exata em F(2,8,-10,10).

Passo 4

Analisando x2=e^2:
  • e é irracional e e^2 também é irracional (transcendental).
  • De novo, expansão infinita em base 2, não cabe nos 8 dígitos.
  • Conclusão: e^2 não tem representação exata.

Passo 5

Analisando x3=3.57:
  • Em fração, 3.57 = tfrac357100.
  • 100 = 2^2 times 5^2. Como aparece fator 5, a expansão em base 2 é infinita.
  • Logo também não termina em 8 dígitos de mantissa.
  • Conclusão: 3.57 não tem representação exata.

Resposta

Nenhum dos três números ( raiz8, e^2 e 3.57) possui representação exata no sistema F(2,8,-10,10),.

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